本節內容是關于正矩陣（postive matrices）： 每個元素 $a_{ij}>0$，它核心的結論是：最大的特征值為正實數，其對應的特征向量也是如此。 在經濟學、生態學、人口動力系統和隨機游走過程中都充分運用了該結論：$$\begin{array}{rl}馬爾可夫矩陣\text{Markov}:& {\lambda }_{\text{max}}=1\\ 人口動力系統\text{Population}:& {\lambda }_{\text{max}}>1\\ 消耗矩陣\text{Consumption}:& {\lambda }_{\text{max}}<1\end{array}$$${\lambda }_{\text{max}}$ 控制著 $A$ 的冪的增長速度。我們先看 ${\lambda }_{\text{max}}=1$ 的情況。

一、馬爾可夫矩陣

在一個正向量 ${\mathbf{u}}_0$ 重復左乘矩陣 $A$：$$\begin{array}{c}馬爾可夫矩陣\\ \text{Markov?matrix}\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0,{\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=A^2{\mathbf{u}}_0$$進行 $k$ 步后，我們得到 $A^k{\mathbf{u}}_0$，向量 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_3,?$ 會趨于 “穩定狀態” ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.6,0.4)$，這最終的結果并不取決于起始向量 ${\mathbf{u}}_0$，每個 ${\mathbf{u}}_0=(a,1?a)$ 都會收斂于 ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.6,0.4)$. 為什么呢？
穩態方程 $A{\mathbf{u}}_{\infty }={\mathbf{u}}_{\infty }$ 表明 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 為對應了特征值為 $1$ 的特征向量：$$\begin{array}{c}穩定狀態\\ \text{Steady?state}\end{array}\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]={\mathbf{u}}_{\infty }$$左乘 $A$ 不會改變 ${\mathbf{u}}_{\infty }$，但是這還不能解釋為什么那么多的向量 ${\mathbf{u}}_0$ 一直用 $A$ 左乘最終收斂于 ${\mathbf{u}}_{\infty }$. 其它的例子也可能會有一個穩態，但是卻沒那么吸引人：$$不是馬爾可夫矩陣B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]有一個不那么吸引人的穩態B\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$這種情形，如果將初始向量 ${\mathbf{u}}_0=(0,1)$ 將會得出 ${\mathbf{u}}_1=(0,2)$ 和 ${\mathbf{u}}_2=(0,4)$，第二個分量每次都翻倍。用特征值的語言來描述，$B$ 有一個特征值 $\lambda =1$，同時也有一個特征值 $\lambda =2$，而后一個特征值產生了不穩定性。${\mathbf{u}}_0$ 沿著不穩定特征向量的分量會一直乘 $\lambda$，而 $|\lambda |>1$ 意味著會爆炸。
這一節是討論確保 $A$ 有穩定狀態的兩個特殊性質，這些性質定義了一個正的馬爾可夫矩陣，上面的 $A$ 就是一個特例：

馬爾可夫矩陣$\begin{array}{l}1、A的每個元素都是正的：a_{ij}>0\\ 2、A的每一列元素加起來都是1.\end{array}$

注： 需要注意的是，上述的定義是針對的是正的馬爾可夫矩陣，而馬爾可夫矩陣的性質 $1$ 僅要求元素非負。

上面的矩陣 $B$ 的第 $2$ 列加起來是 $2$，不是 $1$，所以它不是馬爾可夫矩陣。當 $A$ 為馬爾可夫矩陣時，可以立刻得到兩個事實：
由性質 $1$：$A$ 左乘 ${\mathbf{u}}_0\ge 0$ 會得到一個非負向量 ${\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0\ge 0$.
由性質 $2$：如果 ${\mathbf{u}}_0$ 的分量相加為 $1$，則 ${\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0$ 分量的和也為 $1$.
原因： 當 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\end{array}\right]$${\mathbf{u}}_0=1$ 時，${\mathbf{u}}_0$ 分量的和為 $1$. 由性質 $2$ 可知這對 $A$ 的每一列都成立，則由矩陣乘法 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\end{array}\right]$：$$A{\mathbf{u}}_0分量的和為1\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\end{array}\right]A{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\end{array}\right]{\mathbf{u}}_0=1$$這個事實同樣可以用在 ${\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_3=A{\mathbf{u}}_2$ 上。所以可知每個向量 $A^k{\mathbf{u}}_0$ 都是非負的，且它的分量求和都為 $1$. 這些是 “概率向量 probability vectors”，極限 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 也是一個概率向量 —— 但是我們還需要證明這個極限存在。后面會證明對于一個正的馬爾可夫矩陣有 ${\lambda }_{\text{max}}=1$.

【例1】設丹佛（Denver）的租用車占全國的比例開始為 $\frac{1}{50}=0.02$，丹佛外的地方占比為 $0.98$. 每個月丹佛的汽車有 $80\%$ 留在丹佛，另外 $20\%$ 會離開；同時丹佛外的汽車會有 $5\%$ 進入丹佛，另外 $95\%$ 仍然留在丹佛外。這表明每個月結束，丹佛和丹佛以外的汽車占全國汽車的比例都用矩陣 $A$ 左乘一次 ${\mathbf{u}}_0=(0.02,0.98)$：$$第一個月由A=\left[\begin{array}{cc}0.80& 0.05\\ 0.20& 0.95\end{array}\right]推出{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0=A\left[\begin{array}{c}0.02\\ 0.98\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.065\\ 0.935\end{array}\right]$$注意到 $0.065+0.935=1$，表明所有的汽車都計入了。每一步都用 $A$ 左乘：$$下一個月{\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=(0.09875,0.90125)=A^2{\mathbf{u}}_0$$由于 $A$ 是正的，那么所有的這些向量都是正的。每個向量 ${\mathbf{u}}_k$ 的分量加起來都為 $1$. 第一個分量從 $0.02$ 開始增長，表明汽車是在駛入丹佛。那么長時間以后會怎樣呢？
這一節涉及了矩陣的冪。要理解 $A^k$，我們首先將其對角化，這是對角化最好的應用。$A^k$ 可能會很復雜，但是對角矩陣 ${\Lambda }^k$ 很簡單，特征向量矩陣 $X$ 將它們聯系了起來：$A^k=X{\Lambda }^k{X}^{?1}$. 馬爾可夫矩陣的應用使用了特征值（在 $\Lambda$ 中）和特征向量 （在 $X$ 中）。下面證明 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 是 $A$ 特征值 $\lambda =1$ 對應的特征向量。
因為 $A$ 每列元素相加都等于 $1$，這表明什么也沒失去，同時什么也沒得到。比如我們移動租用汽車或人口，沒有汽車或人口的突然出現（或消失）。如果向量的分量和為 $1$，那么用矩陣 $A$ 左乘這個向量該性質將會保持。那么現在的問題是在我們用矩陣 $A$ 左乘 $k$ 次后這個向量的分量是如何分布的 —— 這就導出了 $A^k$ 的性質。
解： $A^k{\mathbf{u}}_0$ 給出了在第 $k$ 個月后丹佛內和丹佛外汽車的比例。我們將 $A$ 對角化以理解 $A^k$ 的性質。$A$ 的特征值是 $\lambda =1$ 和 $0.75$（跡為 $1.75$）.$$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}A\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right],A\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]=0.75\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]$$將起始向量 ${\mathbf{u}}_0$ 寫成特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$ 的線性組合，這里系數分別為 $1$ 和 $0.18$：$$特征向量的線性組合{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{c}0.02\\ 0.98\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+0.18\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]$$現在用 $A$ 左乘 ${\mathbf{u}}_0$ 求出 ${\mathbf{u}}_1$，特征向量將分別乘上特征值 ${\lambda }_1=1$ 和 ${\lambda }_2=0.75$：$$每個{\mathbf{x}}_i都乘以對應的{\lambda }_i{\mathbf{u}}_1=1\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+(0.75)?(0.18)\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]$$每過一個月，向量 ${\mathbf{x}}_2$ 都會多乘一次 ${\lambda }_2=0.75$，而特征向量 $x_1$ 保持不變：$$k個月以后{\mathbf{u}}_k=A^k{\mathbf{u}}_0=1^k\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+(0.75{)}^k?(0.18)\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]$$這個等式就揭示了 ${\mathbf{u}}_k$ 的實質。特征值 $\lambda =1$ 對應的特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 是穩定狀態。 另一個特征向量 ${\mathbf{x}}_2$ 最終會消失，因為它所對應的特征值 $|\lambda |<1$. 我們進行的步驟越多，就越接近 ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.2,0.8)$. 極限情況下，$\frac{2}{10}$ 的汽車在丹佛，而 $\frac{8}{10}$ 的汽車在丹佛外。這是馬爾可夫鏈（Markov chains）的特征，即使初始向量 ${\mathbf{u}}_0=(0,1)$ 也是一樣：

如果 $A$ 是一個正的馬爾可夫矩陣（每個元素 $a_{ij}>0$，每列元素的和都為 $1$），則 ${\lambda }_1=1$ 是最大的特征值，其對應的特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 是穩定狀態：若 ${\mathbf{u}}_0={\mathbf{x}}_1+c_2{\mathbf{x}}_2+?+c_n{\mathbf{x}}_n$，則$${\mathbf{u}}_k={\mathbf{x}}_1+c_2({\lambda }_2{)}^k{\mathbf{x}}_2+?+c_n({\lambda }_n{)}^k{\mathbf{x}}_n總是趨于{\mathbf{u}}_{\infty }={\mathbf{x}}_1$$

第一點要明白的是，$\lambda =1$ 一定是 $A$ 的一個特征值。原因：$A?I$ 每列的元素相加為 $1?1=0$，則 $A?I$ 所有的行加起來是零行，所以這些行線性相關，那么 $A?I$ 是奇異的，它的行列式為零且 $\lambda =1$ 是 $A$ 的一個特征值。
第二點是沒有滿足 $|\lambda |>1$ 的特征值。因為若有這樣的特征值，$A^k$ 將會一直增長。但是 $A^k$ 也是一個馬爾可夫矩陣！即 $A^k$ 的元素均為正值，且每列元素之和仍然為 $1$（保留了列元素和為 $1$ 的這個性質） —— 這沒有留下讓元素變大的空間。
還有一些特征值 $|\lambda |=1$ 的這樣的矩陣也受到很多關注。

【例2】由于特征值 ${\lambda }_2=?1$，所以矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 沒有穩定狀態。
這個矩陣每個月都將丹佛內外的所有汽車互換。$A^k$ 交替等于 $A$ 和 $I$。第二個特征向量 ${\mathbf{x}}_2=(?1,1)$ 每一步都會乘上 ${\lambda }_2=?1$，它并不會變小，所以沒有穩定狀態。
假設 $A$ 或 $A$ 的任意次冪的元素都是正的 —— 不允許為零。在這種 “正則 regular” 或 “本原 primitive” 的情況下，$\lambda =1$ 是嚴格大于其它特征值的。當 $k\to \infty$ 時，冪 $A^k$ 趨于每列都為穩定狀態的秩一矩陣。

【例3】（“每個人都移動 Everbody moves”）我們從三組人數（向量 ${\mathbf{u}}_0$）開始。每一步，第 $1$ 組一半的人數進入第 $2$ 組，另一半人數進入第 $3$ 組。另外兩組也將各自的人數平分兩半后分別進去其他兩組。下面是從最初的人口 $p_1,p_2,p_3$ 經過第一步：$$新的人口{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}{p}_2+\frac{1}{2}{p}_3\\ \frac{1}{2}{p}_1+\frac{1}{2}{p}_3\\ \frac{1}{2}{p}_1+\frac{1}{2}{p}_3\end{array}\right]$$$A$ 是一個馬爾可夫矩陣，沒有人口出生也沒有人口死亡。$A$ 含有零元素，例 $2$ 中的零元素帶來了麻煩，但是這個例子中在兩步后，零元素從 $A^2$ 中消失了：$$兩步矩陣{\mathbf{u}}_2=A^2{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]$$$A$ 的特征值是 ${\lambda }_1=1$（因為 $A$ 是馬爾可夫矩陣），${\lambda }_2={\lambda }_3=\frac{1}{2}$. 對于 ${\lambda }_1=1$，特征向量 ${\mathbf{x}}_1=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ 會保持穩定狀態。 當三組人數相等時，再經過 “平方-移動” 人數仍然相等。若起始向量 ${\mathbf{u}}_0=(8,16,32)$，馬爾可夫鏈趨于穩定狀態：$${\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{c}8\\ 16\\ 32\end{array}\right]{\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}24\\ 20\\ 12\end{array}\right]{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}16\\ 18\\ 22\end{array}\right]{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{c}20\\ 19\\ 17\end{array}\right]$$第四步時 ${\mathbf{u}}_4$ 會出現將一個人分成兩半的情況，這現實中不可能出現，但是這里假設人數可以為分數。每一步的總人口都是 $8+16+32=56$，穩定狀態是 $56$ 乘 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，我們可以看到，這三組人數將趨近于它們的最終極限 $\frac{56}{3}$，但是永遠不可能達到。
根據網站之間的鏈接數量可以創建一個馬爾可夫矩陣 $A$，穩定狀態 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 將給出谷歌的排名。谷歌通過跟隨鏈接隨機游走的方法得到 ${\mathbf{u}}_{\infty }$. 特征向量來自計算每個網站的訪問比例 —— 這是一種快速計算穩定狀態的方法。
第二個特征值的大小 $|{\lambda }_2|$ 控制著收斂到穩定狀態的速度。

二、佩隆 - 弗羅貝尼烏斯定理

佩隆-弗羅貝尼烏斯定理（Perron-Frobenius Theorem）在研究矩陣穩定狀態時起決定性的作用，該定理僅要求矩陣的所有元素 $a_{ij}\ge 0$，而沒有要求列的和相加為 $1$. 這里證明最簡單的情形：當所有的 $a_{ij}>0$ 時，任意的正矩陣 $A$（不需要是正定的！）.

$A>O$ 時的佩隆-弗羅貝尼烏斯定理$A\mathbf{x}={\lambda }_{\text{max}}\mathbf{x}中所有的數都是正的.$

證明： 證明的關鍵是考慮 $A\mathbf{x}\ge t\mathbf{x}$ 對某個非負向量 $\mathbf{x}$（$\mathbf{x}\ne 0$）成立的所有實數 $t$，這里允許不等式 $A\mathbf{x}\ge t\mathbf{x}$ 的目的是為了取得更多的正的候選的 $t$ 值。其上界 $t_{\text{max}}$（這樣的值是可以取到的，因為 $t$ 是非空有上界的集合，一定存在上確界），我們先證明等式成立：$A\mathbf{x}=t_{\text{max}}\mathbf{x}$.
如果 $A\mathbf{x}\ge t_{\text{max}}\mathbf{x}$ 的等號不成立，我們在兩端同時左乘 $A$，由于 $A$ 是正的，所以這將得到一個嚴格的不等式 $A^2\mathbf{x}>t_{\text{max}}A\mathbf{x}$，因此正向量 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$ 滿足 $A\mathbf{y}>t_{\text{max}}\mathbf{y}$，這里 $t_{\text{max}}$ 可以增大，因為這和上一個 $t_{\text{max}}$ 并不一致。這個矛盾導推出等式 $A\mathbf{x}=t_{\text{max}}\mathbf{x}$ 成立，此時我們將得到一個特征值。由于等式左邊為正，所以它的特征向量 $\mathbf{x}$ 為正。
下面證明沒有比 $t_{\text{max}}$ 更大的特征值。假設 $A\mathbf{z}=\lambda \mathbf{z}$，由于 $\lambda$ 和 $\mathbf{z}$ 可能包含有負數或復數，我們對所有的分量取絕對值，則由三角不等式可得：$|\lambda ||\mathbf{z}|=|A\mathbf{z}|\le A|\mathbf{z}|$. 這里 $|\mathbf{z}|$ 表示的是一個非負的向量，所以 $|\lambda |$ 是一個可能的候選數 $t$，因此 $|\lambda |$ 比可能超過 $t_{\text{max}}$，即 ${\lambda }_{\text{max}}$ 就等于 $t_{\text{max}}$.

三、人口增長

將 $60$ 歲以下的人口按年齡分成三組：小于 $20$ 歲的，$20$ 到 $39$ 歲的，$40$ 到 $59$ 歲的。第 $T$ 年，這三組的人數分別為 $n_1,n_2,n_3$. 二十年以后，這三組的人數會出現改變，原因是：出生、死亡和衰老。

1. 生育（Reproduction）：$n_1^{\text{new}}=F_1{n}_1+F_2{n}_2+F_3{n}_3$ 給出了新的第一組的人口，都是新生人口；
2. 存活（Survial）：$n_2^{\text{new}}=P_1{n}_1$ 和 $n_3^{\text{new}}=P_2{n}_2$ 給出了新的第二組和第三組的人口。

$F_1,F_2$ 和 $F_3$（$F_2$ 最大）分別為這三個年齡組的生育率，可以用萊斯利矩陣（Leslie matrix）$A$ 來關聯這些數據，設：$${\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]}^{\text{new}}=\left[\begin{array}{ccc}{F}_1& F_2& F_3\\ P_1& 0& 0\\ 0& P_2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.04& 1.1& 0.01\\ 0.98& 0& 0\\ 0& 0.92& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]$$這個形式是最簡單的人口投影，每一步（$20$ 年）的矩陣 $A$ 都是相同的。在現實模型中，$A$ 會隨著時間改變（因為環境或內部因素）。研究者可能會加入年齡大于 $60$ 歲的作為第四個年齡組，但這里不考慮這種情況。
矩陣 $A$ 滿足 $A\ge O$，但是不滿足 $A>O$. 而由于 $A^3>O$，正矩陣情形的佩隆-弗羅貝尼烏斯定理仍然有效。最大的特征值是 ${\lambda }_{\text{max}}\approx 1.06$. 我們假設中間組的人口從 $n_2=1$ 起始，以觀察人口的變化：$$\text{eig}(A)=\begin{array}{c}1.06\\ ?1.01\\ ?0.01\end{array}{A}^2=\left[\begin{array}{ccc}1.08& 0.05& 0.00\\ 0.04& 1.08& 0.01\\ 0.90& 0& 0\end{array}\right]A^3=\left[\begin{array}{ccc}0.10& 1.19& 0.01\\ 0.06& 0.05& 0.00\\ 0.04& 0.99& 0.01\end{array}\right]$$為了快速的看出人口的變化，我們設 ${\mathbf{u}}_0=(0,1,0)$，經過一個 $20$ 年，中間組會生育 $1.1$ 同時存活 $0.92$，${\mathbf{u}}_1=(1.1,0,0.92)$ 對應 $A$ 的第 $2$ 列。再過 $20$ 年，${\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=A^2{\mathbf{u}}_0$ 是 $A^2$ 的第 $2$ 列。開始的一些數據（短期內各組的人口）很大程度上依賴于 ${\mathbf{u}}_0$，但是無論起始向量是什么，漸進增長率 ${\lambda }_{\text{max}}$ 都是相同的。它對應的特征向量 $\mathbf{x}=(0.63,0.58,0.51)$ 表明這三組所有的人口數一起穩定增長。
上述模型肯定不是完全準確的，如果矩陣中的 $F_i$ 和 $P_i$ 變化 $10\%$，${\lambda }_{\text{max}}$ 會小于 $1$ 嗎（這意味著人口滅絕）？由矩陣變化 $\Delta A$ 將導出特征值變化 $\Delta \lambda ={\mathbf{y}}^T(\Delta A)\mathbf{x}$. 這里的 $\mathbf{x}$ 和 ${\mathbf{y}}^T$ 分別是 $A$ 的右特征向量和左特征向量，即 $A\mathbf{x}=d\mathbf{x}$ 和 $A^T\mathbf{y}=\lambda \mathbf{y}$.

四、經濟學中的線性代數：消耗矩陣

這里不會詳細講解經濟學中的線性代數，只簡單的介紹一下消耗矩陣（consumpution matrix）. 消耗矩陣表示的是每產出一個單位，每種的投入需要多少單位。這個描述的是經濟學的制造業方面。
消耗矩陣： 有 $n$ 個工廠，如化學品、食品和石油等。為了生產 $1$ 單位的化學品需要 $0.2$ 單位的化學品、$0.3$ 單位食品和 $0.4$ 單位石油。將這些數放在消耗矩陣 $A$ 的第 $1$ 行：$$\left[\begin{array}{c}化學品產出\\ 食品產出\\ 石油產出\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.3& 0.4\\ 0.4& 0.4& 0.1\\ 0.5& 0.1& 0.3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}化學品投入\\ 食品投入\\ 石油投入\end{array}\right]$$第 $2$ 行表明生產食品的投入 —— 需要大量的化學品和食品，石油的消耗比較少。$A$ 的第 $3$ 行表明提煉 $1$ 單位的石油需要的投入。美國在 $1958$ 年實際的消耗矩陣包含 $83$ 個工廠，而 $1990$ 年的模型要更大、更精確。我們選擇的消耗矩陣有一個方便使用的特征向量。
現在問題來了：這種經濟能滿足對化學品、食品和石油各自的需求 $y_1,y_2,y_3$ 嗎？為了滿足需求，投入 $p_1,p_2,p_3$ 必須要更高 —— 因為在生產 $\mathbf{y}$ 的過程中，消耗掉了一部分 $\mathbf{p}$. 投入為 $\mathbf{p}$，消耗的為 $A\mathbf{p}$，那么產出為 $\mathbf{p}?A\mathbf{p}$. 這個凈產量就是可以滿足外部的需求 $\mathbf{y}$（即需要產出的 $\mathbf{y}$）：

問題： 求一個向量 $\mathbf{p}$，使得 $\mathbf{p}?A\mathbf{p}=\mathbf{y}$ 即 $\mathbf{p}=(I?A{)}^{?1}\mathbf{y}$.

顯然，對于線性代數的來說，就是確定 $I?A$ 是否可逆。但是這里有更多的限制，產出向量 $\mathbf{y}$ 是非負的，$A$ 也是非負的，$\mathbf{p}=(I?A{)}^{?1}\mathbf{y}$ 中的生產水平也要是非負的。真正的問題是：$$什么時候(I?A{)}^{?1}是一個非負矩陣？$$這是關于產出型經濟對應的 $(I?A{)}^{?1}$ 的檢驗法，該經濟可以滿足任何需求。如果 $A$ 比 $I$ 小，則 $A\mathbf{p}$ 就會小于 $\mathbf{p}$，就會有足夠的產出。如果 $A$ 太大，那么生產就消耗的太多，產出 $\mathbf{y}$ 的需求就無法滿足。
“小” 或 “大” 是由 $A$ 最大的特征值 ${\lambda }_1$（正的）決定的：

• 如果 ${\lambda }_1>1$，則 $(I?A{)}^{?1}$ 有負元素
• 如果 ${\lambda }_1=1$，則 $(I?A{)}^{?1}$ 不存在
• 如果 ${\lambda }_1<1$，則 $(I?A{)}^{?1}$ 就是所需的非負矩陣

重點就是最后一個，推導時會使用一個表示 $(I?A{)}^{?1}$ 很棒的公式。數學中最重要的無窮級數是幾何級數（geometric series） $1+x+x^2+?$. 當 $?1<x<1$ 時，這個級數的和是 $\frac{1}{1?x}$；當 $x=1$ 時，級數為 $1+1+1+?=\infty$；當 $|x|\ge 1$ 時，$x^n$ 的極限不為零，這個級數不會收斂。
表示 $(I?A{)}^{?1}$ 的公式是矩陣的幾何級數（geometric series of matrices）:

$$幾何級數\text{Geometricseries}(I?A{)}^{?1}=I+A+A^2+A^3+?$$

如果級數 $S=I+A+A^2+A^3+?$ 兩邊左乘 $A$，可以得到除了 $I$ 以外的同樣的級數，因此 $S?AS=I$，即 $(I?A)S=I$. 如果該級數收斂，它的和為 $S=(I?A{)}^{?1}$. 如果 $A$ 所有的特征值都滿足 $|\lambda |<1$，則級數 $S$ 收斂。
我們這種情況是 $A\ge O$，這個級數所有的項都是非負的，和為 $(I?A{)}^{?1}\ge O$.

【例4】矩陣 $A=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.3& 0.4\\ 0.4& 0.4& 0.1\\ 0.5& 0.1& 0.3\end{array}\right]$ 最大的特征值 ${\lambda }_{\text{max}}=0.9$，則 $(I?A{)}^{?1}=\frac{10}{93}\left[\begin{array}{ccc}41& 25& 27\\ 33& 36& 24\\ 34& 23& 36\end{array}\right]$.
這個經濟是產出型的。因為 ${\lambda }_{\text{max}}=0.9$，所以 $A$ 比 $I$ 要小。為了滿足需求 $\mathbf{y}$，從投入 $\mathbf{p}=(I?A{)}^{?1}\mathbf{y}$ 開始，則 $A\mathbf{p}$ 就是生產時的消耗，剩余 $\mathbf{p}?A\mathbf{p}$，就是 $(I?A{)}^{?1}\mathbf{p}=\mathbf{y}$，滿足了需求。

【例5】$A=\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right]$ 最大的特征值 ${\lambda }_{\text{max}}=2$，則 $(I?A{)}^{?1}=?\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right]$.
這個消耗矩陣 $A$ 太大了，無法滿足生產的需求，因為消耗要比產出更多。由于 ${\lambda }_{\text{max}}>1$，所以它對應的幾何級數是 $I+A+A^2+?$ 不會收斂到 $(I?A{)}^{?1}$. 事實上，這個級數不斷增長，矩陣 $(I?A{)}^{?1}$ 是負矩陣。
同理，$1+2+4+?$ 并不等于 $\frac{1}{1?2}=?1$，但這也不是完全錯誤！