2025高教社國賽數學建模A題參考論文35頁（含代碼和模型）

2025國賽數學建模競賽A題完整參考論文

目錄?

摘要

1 ???問題背景與重述

2 ???問題分析

2.1??問題一分析

2.2??問題二分析

2.3??問題三分析

2.4??問題四分析

2.5??問題五分析

3???符號說明

4???模型假設

5???模型建立與求解

5.1 ?問題一?煙幕有效遮蔽時長計算

圖?1 ?位置信息可視圖

5.1.1 ???導彈運動模型建立

5.1.2 ???煙幕彈拋投與起爆位置模型

5.1.3 ???煙幕云團運動與遮蔽條件模型

5.1.4 ???有效遮蔽時長計算模型

5.1.5 ???數值模擬與求解方法

5.1.6????問題一的求解

5.2 ?問題二?單無人機單彈干擾?M1?的最優遮蔽策略設計

5.2.1 ???決策變量定義

5.2.2 ???運動軌跡建模

5.2.3????約束條件

5.2.4 ???優化模型歸納

5.2.5????問題二的求解

5.3 ?問題三模型的建立與求解

5.3.1????問題三模型的建立

5.3.2????問題三的求解

5.4 ?問題四、五模型的建立與求解

6???模型評價與改進

6.1 ?模型的優點

6.2 ?模型的缺點

2025高教社國賽數學建模A題參考論文35頁（含代碼和模型）

2025國賽數學建模競賽A題助攻資料
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參考文獻

基于模擬遺傳退火的煙幕彈投遞方式的研究摘要煙幕干擾彈作為一種具有成本低、效費比高等優點的典型防御手段，主要通過化學燃燒或爆炸分散形成氣溶膠云團，在目標前方特定空域形成有效遮蔽，從而干擾敵方導彈攻擊路徑。隨著精確投放技術的發展，現可利用無人機實現煙幕干擾彈的定點拋撒和定時起爆。本文基于三維運動學分析與約束優化理論，建立煙幕干擾彈投放與起爆的時空協同模型，以最大化對真目標的有效遮蔽時間為目標，系統研究不同戰術場景下的最優投放策略。針對問題一，在給定無人機以 120m/s 速度朝向假目標飛行、受領任務 1.5s 后投彈、3.6s 后起爆的條件下，通過建立導彈勻速直線運動軌跡模型與煙幕彈平拋下沉復合運動模型，結合煙幕有效遮蔽半徑與持續時間約束，構建基于距離判據的遮蔽判定準則，采用高精度數值積分方法計算出煙幕對導彈 M1 的有效遮蔽時長為 1.4 秒。針對問題二，以無人機飛行方向角、飛行速度、投彈時間及起爆時間為決策變量，綜合考慮速度范圍約束、時間非負約束、起爆高度約束等條件，建立以遮蔽時間最大化為目標的非線性優化模型。采用改進遺傳算法進行全局尋優，通過自適應交叉變異策略提升搜索效率，最終求解出使遮蔽時間最大化的最優參數組合，實現單機單彈干擾策略的優化設計。針對問題三至五，分別研究單機多彈、多機單彈及多機多彈協同干擾等復雜場景。通過解析煙幕云團最優遮蔽位置序列，建立多彈時序協同與空間匹配機制，構建多約束條件下的組合優化模型。針對問題規模與復雜度，采用混合智能優化算法（模擬退火-遺傳算法）進行高效求解，最終輸出各場景下的最優投彈策略及相應參數。關鍵詞：煙幕干擾；無人機投彈；運動學建模；時序優化

1 問題背景與重述煙幕干擾技術是一種通過形成氣溶膠云團來遮蔽目標、干擾敵方導彈的重要防御手段，具有成本低、效費比高的特點。隨著精確投放技術的發展，現可利用無人機實現煙幕干擾彈的定點拋撒和定時起爆，在來襲導彈與保護目標之間形成有效遮蔽。現需針對空地導彈襲擊場景，設計無人機投放煙幕干擾彈的最優策略。已知導彈飛行速度為 300m/s ，指向假目標飛行；真目標位于(0,200,0)；5 架無人機和 3 枚導彈的初始位置已知。無人機可在 70~ 140m/s 速度范圍內調整航向和速度，投放的煙幕彈起爆后形成下沉速度為 3m/s 的球狀云團，在 10m 范圍內提供最長 20s 的有效遮蔽。因此研究需要建立數學模型，優化無人機飛行參數和煙幕彈投放策略，以最大化對真目標的遮蔽時間。基于以上信息，根據相關參數，解決以下問題：（1）給定 FY1 無人機以 120m/s 向假目標飛行，受領任務 1.5s 后投放煙幕彈，3.6s 后起爆，計算對 M1 導彈的有效遮蔽時長。（2）優化 FY1 無人機的飛行方向、速度、投放點和起爆點，使對 M1 的遮蔽時間最長。（3）利用 FY1 投放 3 枚煙幕彈干擾 M1 ，給出最優投放策略并輸出至 result1.xlsx。（4）利用 FY1、FY2、FY3 各投 1 枚煙幕彈干擾 M1，給出最優策略并輸出至 result2.xlsx。（5）利用 5 架無人機（每架最多投 3 枚）同時對 M1 、M2 、M3 進行干擾，給出最優策略并輸出至 result3.xlsx。 2 問題分析 2.1 問題一分析該問題要求利用無人機 FY1 投放單枚煙幕干擾彈對導彈 M1 實施干擾，并在給定無人機飛行速度、飛行方向、干擾彈投放時間與起爆時間間隔的條件下，計算該枚干擾彈對 M1 的有效遮蔽時長。本論文考慮煙幕干擾彈脫離無人機后的平拋運動特性及起爆后的勻速下沉

過程，針對導彈 M1 勻速飛向假目標的運動軌跡，建立導彈與煙幕云團的三維運動學模型。通過幾何關系分析煙幕云團對導彈與真目標之間視線的遮擋條件，計算過程中結合煙幕有效遮蔽半徑 10 米及持續 20 秒的特性，構建視線遮擋判斷準則，進而通過數值模擬方法計算出有效遮蔽時間。

2.2 問題二分析

該問題要求利用無人機 FY1 投放單枚煙幕干擾彈對導彈 M1 實施干擾，通過優化無人機的飛行方向、飛行速度、干擾彈投放點及起爆點，最大化有效遮蔽時間。

本文將無人機飛行方向、飛行速度、干擾彈投放時間和起爆時間作為決策變量，構建以遮蔽時長為目標的非線性優化模型。綜合考慮無人機勻速直線飛行、干擾彈平拋運動及煙幕云團勻速下沉的物理過程，結合變量取值范圍約束和落地前起爆條件

最后設計基于智能優化算法的求解策略，通過系統搜索決策空間，確定使遮蔽持續時間達到最大的最優參數配置。

2.3 問題三分析

該問題要求利用單架無人機 FY1 投放 3 枚煙幕干擾彈對導彈 M1 實施干擾，并給出最優投放策略。由于直接采用數值模擬方法搜索三維決策空間計算效率較低，需結合運動學機理挖掘煙幕彈投放的空間規律。

本文基于導彈與真目標之間的視線幾何關系，解析煙幕云團有效遮蔽的空間區域特征，建立最優遮蔽位置模型。通過逆向推導，將原優化問題轉化為先求解煙幕彈最佳起爆位置，再反演無人機的飛行方向、速度及投彈時序。求解過程中需綜合考慮多枚干擾彈投放時間間隔約束、無人機飛行約束及遮蔽持續時間等因素，通過序列決策優化，確定三枚煙幕彈的協同投放策略。

2.4 問題四分析

該問題要求利用三架無人機（FY1、FY2、FY3）各投放 1 枚煙幕干擾彈對導彈 M1 實施干擾。

本文延續問題三中對最優遮蔽位置的分析思路，基于單枚煙幕彈最佳起爆位置模型，進一步研究多枚煙幕彈在時間序列上的銜接機制。通過建立多彈遮蔽時間窗口匹配模型，優化各無人機飛行參數與投彈起爆時序，使得三枚煙幕彈形成

5.1.1 導彈運動模型建立導彈 M1 的運動軌跡采用勻速直線運動模型進行描述。在該模型中，假設導彈在飛行過程中不受任何外力干擾,如重力、空氣阻力或控制指令等，因此其運動狀態保持恒定，即速度向量的大小和方向均不發生變化，運動軌跡為一條直線。設定假目標的位置為三維坐標系原點 O(0,0,0) ，導彈的初始位置為 PM 1 (0) = (20000, 0, 2000) 。導彈的飛行速度大小為vM = 300m / s ，其飛行方向精確指向假目標原點 O。由于原點位于導彈初始位置的反方向，因此導彈的速度向量應指向原點，即與初始位置向量的方向相反。根據運動學原理，速度向量的方向可由初始位置向量的單位向量確定。具體而言，從導彈初始位置指向原點的單位向量 u 可表示為：

5.1.2 煙幕彈拋投與起爆位置模型

無人機 FY1 的運動遵循等高度勻速直線運動模型。該模型假設無人機在飛行過程中保持固定高度，且以恒定速度沿直線飛行，忽略空氣動力學效應、風力干擾及機動變化等影響因素，是一種適用于理想化場景的運動學描述。

無人機初始位置位于三維坐標系中的點PFY1(0) ＝(17800, 0, 1800) ，單位均米，其初始位置位于XOZ平面內。

無人機飛行速度大小為VFY? = 120 米每秒，飛行方向精確指向假目標所在位置即坐標系原點O 。由于原點位于無人機初始位置的相反方向，其速度向量可表示為初始位置向量的反方向單位向量與速度大小的乘積。具體而言，速度向量

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