Hilbert變換：從數學原理到物理意義的深度解析與仿真實驗

Hilbert變換是信號處理領域中一項經典而強大的工具，廣泛應用于瞬時頻率分析、調制解調、相位提取等場景。本文將從數學原理出發，結合物理意義與實際應用，通過Python仿真實驗直觀展示其作用，并提供完整代碼供讀者復現。

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一、數學原理

Hilbert變換的核心是將一個實值信號 $x(t)$ 映射為與其正交的信號 $\hat{x}(t)$，其數學定義為：
x^(t)=H{x(t)}=1π∫?∞∞x(τ)t?τdτ\hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau x^(t)=H{x(t)}=π1?∫?∞∞?t?τx(τ)?dτ
該積分是Cauchy主值積分，在頻域中可等效為對原信號的傅里葉變換乘以因子 $?j?\text{sgn}(f)$（其中 $\text{sgn}(f)$ 是符號函數，$f$ 為頻率），再通過逆傅里葉變換得到結果：
$$\hat{X}(f)=?j?\text{sgn}(f)X(f)$$
通過將原信號與其Hilbert變換結果組合，可構造解析信號（Analytic Signal）：
$$z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$$
解析信號的頻譜僅包含正頻率分量（負頻率分量被抑制），這一特性使其成為分析非平穩信號（如調制信號）的關鍵工具。

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二、作用與物理意義

1.構造解析信號

解析信號 $z(t)$ 的實部是原信號 $x(t)$，虛部是其Hilbert變換 $\hat{x}(t)$。通過解析信號，可以提取信號的瞬時幅度（Instantaneous Amplitude）和瞬時相位（Instantaneous Phase）：

• 瞬時幅度：$A(t)=|z(t)|$
• 瞬時相位：$?(t)=\arg (z(t))$

2.相位移動特性

Hilbert變換的本質是對信號的所有頻率成分進行90度相位移動：

• 正弦信號 $\sin (\omega t)$ 變換后為 $\cos (\omega t)$（相位超前90度）；
• 余弦信號 $\cos (\omega t)$ 變換后為 $?\sin (\omega t)$（相位滯后90度）。

3.應用場景

• 調制信號分析：提取調幅（AM）或調頻（FM）信號的包絡或瞬時頻率；
• 單邊帶調制（SSB）：通過抑制負頻率分量實現高效信號傳輸；
• 瞬時頻率估計：在非平穩信號（如生物信號、機械振動）中，計算局部頻率特性。

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三、仿真實驗

實驗1：正弦信號的Hilbert變換

目標：驗證Hilbert變換的相位移動特性，并構造解析信號。

代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert# 參數設置
fs = 1000            # 采樣率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)  # 時間范圍[0,1)s
f = 5                # 正弦信號頻率# 生成原始信號（正弦波）
x = np.sin(2 * np.pi * f * t)# 計算Hilbert變換（虛部為解析信號的正交分量）
z = hilbert(x)       # 解析信號
x_hat = np.imag(z)   # Hilbert變換結果# 繪制圖形
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始信號與Hilbert變換結果
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='$x(t) = \sin(2\pi ft)$')
plt.plot(t, x_hat, label='$\hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\}$')
plt.title('原始信號與Hilbert變換結果')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信號的實部與虛部
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, np.real(z), label='實部（原信號）')
plt.plot(t, np.imag(z), label='虛部（正交信號）')
plt.title('解析信號的實部與虛部')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信號的幅度與相位
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, np.abs(z), label='瞬時幅度 $A(t)$')
plt.plot(t, np.unwrap(np.angle(z)), label='瞬時相位 $\phi(t)$')
plt.title('解析信號的幅度與相位')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('幅值/弧度')
plt.legend()
plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()

結果分析：

• 原始正弦信號的Hilbert變換結果為余弦信號（相位超前90度）；
• 解析信號的幅度恒為1（正弦信號的包絡），相位為 $2\pi ft$，符合理論預期。
• 其結果如下圖：

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實驗2：調幅信號的Hilbert變換

目標：分析調幅信號的瞬時幅度與相位，驗證包絡提取能力。

代碼：

# 參數設置
f_carrier = 50       # 載波頻率
f_mod = 5            # 調制頻率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)# 生成調幅信號（AM）
x = (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f_mod * t)) * np.sin(2 * np.pi * f_carrier * t)# 計算Hilbert變換與解析信號
z = hilbert(x)
x_hat = np.imag(z)
A = np.abs(z)
phi = np.unwrap(np.angle(z))# 繪制圖形
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始調幅信號與Hilbert變換結果
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='調幅信號')
plt.plot(t, x_hat, label='Hilbert變換結果')
plt.title('調幅信號與Hilbert變換結果')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信號的瞬時幅度（包絡）
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, A, label='瞬時幅度（包絡）')
plt.plot(t, (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f_mod * t)), label='理論包絡', linestyle='--')
plt.title('調幅信號的瞬時幅度與理論包絡對比')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 瞬時相位與瞬時頻率
instantaneous_frequency = np.diff(phi) / (2 * np.pi * (1/fs))  # 瞬時頻率計算
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t[1:], instantaneous_frequency, label='瞬時頻率')
plt.plot(t, f_carrier + 0.5 * f_mod * np.cos(2 * np.pi * f_mod * t), label='理論瞬時頻率', linestyle='--')
plt.title('調幅信號的瞬時頻率與理論值對比')
plt.xlabel('時間 [s]')
plt.ylabel('頻率 [Hz]')
plt.legend()
plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()

結果分析：

• Hilbert變換結果（虛部）為調幅信號的正交分量；
• 瞬時幅度 $A(t)$ 完整還原了調幅信號的包絡（$1+0.5\sin (2\pi f_{m}t)$）；
• 瞬時頻率接近理論值（載波頻率 + 調制頻率的影響），驗證了Hilbert變換在非平穩信號分析中的有效性。
• 其結果如下圖：

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四、結論

Hilbert變換通過構造解析信號，將實值信號擴展到復數域，從而實現了對信號瞬時屬性的提取。其數學原理基于頻域相位移動，物理意義是抑制負頻率分量并保留正頻率分量。通過仿真實驗可見，Hilbert變換在正弦信號分析中表現為相位平移，在調幅信號中則能精準提取包絡和瞬時頻率，是信號處理中不可或缺的工具。

附注：以上代碼使用 scipy.signal.hilbert 直接計算解析信號，其內部通過快速傅里葉變換（FFT）實現，避免了直接計算Cauchy主值積分的復雜性。

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研究學習不易，點贊易。
工作生活不易，收藏易，點收藏不迷茫 ：）

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