$△ABC$ 的內切圓 $\odot I$ 分別與邊 $BC$, $CA$, $AB$ 相切于點 $D$, $E$, $F$, $D{D}^{\prime }$ 為 $\odot I$ 的直徑, 過圓心 $I$ 作直線 $A{D}^{\prime }$ 的垂線 $l$, 直線 $l$ 分別與 $DE$, $DF$ 相交于點 $M$, $N$. 求證: $IM=IN$ . (《高中數學聯賽模擬試題精選》“學數學”系列第3套幾何題)

證明: 先證明: $△IME～△A{D}^{\prime }E$:

$\angle AE{D}^{\prime }=\angle IDE=\angle IEM$.

$A{D}^{\prime }\perp IM$, $IE\perp AE$, 所以 $\angle D^{\prime }AE=\angle MIE$.

所以 $△IME～△A{D}^{\prime }E$.

同理, $△INF～△A{D}^{\prime }F$.

$IM/IE=A^{\prime }D/AE=A^{\prime }D/AF=IN/IF$.

所以 $IM=IF$.

證畢.