理解數學概念——支集(支持)(support)

1.??? 支集(support)的定義

???????? 在數學中，一個實函數 f 的支集(support)是函數的不被映射到 0 的元素域(即定義域)的子集。若 f ?的(定義)域(domain)是一個拓撲空間(即符合拓撲的集合)，則 f 的支集則定義為包含( f ?的元素域中)不被映射到0的所有點之最小閉集。這個概念廣泛應用于數學分析中。

??? 支集是一個函數、概率分布或隨機變量在其上取非零值的點的集合。換言之，它描述了函數或分布在哪些點上“存在”或“起作用。” 這樣的集合稱為支集(support)，這樣的函數或概率分布則稱為受支于(supported)該集合。“支持”可理解為支持“存在或起作用”的集合，在概率論中可理解為“支持度”。

2.??? 支集的公式化

假設?? $f:X \longrightarrow \mathbb{R}$ ??是一個其域為任意集合 X 的實函數。則? f? ?的集合論支集(記為 supp( f ?))是 f 在其上取非零值的 X 的點之集合：

supp( f? ) = { x∈ X: f (x) ≠ 0 } 。

f 的支集是具有在X之子集的補集上 f 是0 這個屬性的最小子集(即在其上全不為零的集合)。若對于除有限數量的點 x∈ X ，有 f (x) = 0 ，則稱 f 具有有限支集(即在有限點除處不為0 )。如果集合 X 具有附加結構(例如，拓撲)，則 f 的支集度可以類似地定義為 X 中適當類型的最小子集，使得 f 在其補集上以適當的意義消沒。支集的概念也可以自然地擴展到取值范圍比 ? 更廣義的集合的函數，以及其他對象，例如測度或分布。

3.??? 閉支集

??? 閉支集最常出現在 X 是一個拓撲空間(例如，實線或 n 維 Euclid 空間) 且?? $f:X \longrightarrow \mathbb{R}$ ? 是一個連續的實(或復)函數的情況下。在這種情況下，f? ?的支集或(閉支集)在拓撲上定義為 X 的在其中非0的子集之閉包(取于X )，即?

$\mathsf{supp}( f ) := \mathsf{cl}_{X}(\{ x\in X: f (x) \neq 0 \}) = \overline{f^{-1} (\{0\}^c)}$ ? ?。

由于閉集之交集必為閉集，因此 supp( f? ) 是包含 f 的集合論支集的所有閉集之交集。注意，若函數?? $f:\mathbb{R}^{n} \supseteq X \longrightarrow \mathbb{R}$ ??定義于一個開子集? ? $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ??，則閉包仍然針對? X ??選擇，而非針對周圍的(ambient)? $\mathbb{R}^{n}$ ?獲取。例如，若 f? 定義為??

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{l}1-x^{2}(if \:\: |x| < 1) \\ \\ 0(if \:\: |x| \geq 1) \end{array}\right.$ ?，

則 ?f? 的支集(或閉支集) supp( f? ) 是閉區間 [-1,1] ,因為 f 在開區間 (-1,1)上非零，而這個開集間的閉包是 [-1,1] 。

??? 閉支集的概念通常適用于連續函數，但此定義對于基于拓撲空間的任意實函數或復函數均有意義，一些作者不要求??f? ?：X ? ??? 或 f? ?：X ? ??? 連續。

4.??? 緊支集(Compact support)

??? 一個拓撲空間 X 上具有緊支集的函數是那些其閉支集是 X 的一個緊致子集的函數。若 X 是實線(real line)或 n 維 Euclid 空間，則當且僅當一個函數具有有界支集的時候，其具有緊支集，因為當且僅當? $\mathbb{R}^{n}$ ?的一個子集閉且有界時，其是緊致的。

例如，上述定義的函數 f? ?：? ? ??? 是一個具有緊支集 ?[-1,1] 的連續函數。若? $f :\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ ?是一個平滑函數，則因為 ?f? ??在開集? $\mathbb{R}^{n}\backslash \mathsf{supp}( f )$ ?上恒為零，所有 f 的所有階偏導數在? $\mathbb{R}^{n}\backslash \mathsf{supp}( f )$ ?上也恒等于0 。

??? 緊支集的條件強于在無窮遠處消沒的條件。例如定義為

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ ?

的函數? f? ?：? ? ???? 在遠窮遠處消沒，因為隨著 | x | ? ∞ 而有?? f (x) ?0 ，但其支集? ? 不是緊致的。

???????? Euclid空間中的實值緊支持平滑函數稱為凹凸函數(bump functions)。平滑化算子(Mollifiers)是凹凸函數的一個重要特例，因為它們可以在分布理論中用于通過卷積創建平滑函數序列，從而逼近非平滑(廣義)函數。

???????? 在理想情況下，具有緊支集的函數在無窮遠處趨于零的函數空間中是稠密的，但這一性質需要一些技術工作才能在給定的例子中得到證明。作為更復雜例子的直覺，以及用極限的語言來說，對于任意 ε > 0 ，基于實線 ? 的在無窮遠處消沒的任意函數? f? ?，可能通過選擇 ? 的一個合適的緊子集 C ?來逼近，使得對于任意 x∈ X ，有

$| f (x) - I_{C} (x)f (x)| < \epsilon$ ? ,

其中? $I_{C}$ ?是 C 的示性函數(indicator function)。緊致拓撲空間上的每一個連續函數都有緊支集，因為緊致空間的每一個閉子集確實是緊的。

5.??? 基本支集(Essential support)

??? 若 X 是一個具有一個 Borel 測度 μ 的拓撲測度空間(例如，配備了 Lebesgue測度的 $\mathbb{R}^{n}$ ?或其一個 Lebesgue 可測子集 )，則我們通常可以求得幾乎處處有測度 μ (μ-almost everywhere)(簡稱為“幾乎處處μ” ) 的相等函數。在那種情況下，一個可測函數 f? ?：X ? ?? 的基本支集(記為 ess supp( f? ))定義為 X 的使得后述條件成立的最小閉子集F，即在 F 之外幾乎處處 μ 的 f = 0 。

ess supp( f? ):= X \∪{Ω∈X ：Ω 是開集且在 Ω 中幾乎處處 μ 的 f = 0 ?} 。

一個函數 f 的基本支集取決于測度 μ 以及基自身，它可能嚴格小于閉支集。例如，若 f ：[0,1] ? ? 是一個Dirichlet 函數(在非比數上為0，在比率數上為1) ，且[0,1]配備了 Lebesgue測度，則? f? 支集是整個區間? [0,1] ，但? f? 的基本支集是空，因為 ??f? ?是幾乎處處等于零函數的函數。

??? 在數學分析中，當一個函數的基本支集與其閉支集不同時，我們幾乎總是希望使用其基本支集而非其閉支集，因此? ess supp( f? ) 通常簡記為 supp( f? ) 來指其支集。

6.??? 推廣(Generalization)

??? 若 M 是一個包含 0 的任意集合，則支集的概念立即可推廣至函數 f? ?：X ? M? ?。支集也可以對具有幺元的任意代數結構定義(例如，群，獨異點(monoid)，或組合代數)，在其中幺元元素充當了0的角色。例如，從自然數到整數的函數族? $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ ?是整數序列的不可數集。子族? ? $\{ f \in \mathbb{Z}^\mathbb{N} : f$ ?具有有限支集 $\}$ ? 是僅有有限多個非零項的所有整數序列的可數集。

有限支集函數用于定義代數結構，例如群環和自由 Abel 群。

7.??? 概率和測度論中的支集

???????? 在概率論中，概率分布的支持度(support)可以粗略地理解為服從該分布的隨機變量的可能值集合的閉包。然而，在處理定義在 σ代數而非拓撲空間上的一般分布時，需要考慮一些微妙之處。

???????? 更一般地，若 X : ?Ω ? ? ?是 ( Ω ,?, P ) 上的隨機變量，則 X 的支集是使得? $P(X\in \mathbb{R}_{X} ) = 1$ ?的最小閉集? $R_{X} \subseteq \mathbb{R}$ ?。

然而，在實踐中，一個離散隨機變量X 的支集通常定義為集合

$R_{X} = \{ x\in \mathbb{R} :P(X = x) > 0 \}$ ?，

而一個連續隨機變量 X 的支集定義為集合

$R_{X} = \{ x\in \mathbb{R} :f_{X}(x) > 0 \}$ ? ，

其中? $f_{X}(x)$ ???是X 的一個概率密度函數(集合論支集)。注意，詞“支集”可以指一個概率密度函數的似然(likelihood)的對數。

8.??? 分布的支集

???????? 我們也可以討論分布的支集，例如實數軸上的Dirac δ函數δ(x)。在該例中，我們可以考慮試函數F，它是平滑函數，其支集不包括點0 。由于δ(F )(將分布δ作為線性泛函應用于F ) 對于此類函數為0 ，因此我們可以說δ的支集僅為 {0} 。由于實數軸上的測度(包括概率測度)是分布的特例，我們也可以用同樣的方式討論測度的支集。

???????? 假設? f ?是一個分布函數，且 U 是一個 Euclid 空間中的開集，其使得對于所有檢驗函數(test function) 𝜙? ，使得 𝜙 的支集包含于 U，f (𝜙) = 0 。則稱 f 在 U上消沒。現在，若 f 在一個任意開集族? $U_{\alpha}$ ?上消沒，則對于受支于? $\cup U_{\alpha}$ ?上的任意檢查函數 𝜙 ，則一個簡單的基于 𝜙? 的支集的緊致性論證以及一個單式分割也可證明 f (𝜙) = 0 。因此，我們可以定義 f 的支集為在其上 f 消沒的最大開集之補集。例如，Dirac δ?函數的支集僅為 {0}。

9.??? 奇異集(Singular support)

在Fourier分析中，研究分布的奇異支集尤為有趣。它的直觀解釋是分布在這些點處不再是平滑函數。

??? 例如，Heaviside階躍函數的Fourier變換除了在x = 0處，最多可以認為是1/x(一個函數)。雖然x = 0顯然是一個特殊點，但更準確地說，該分布的變換具有奇異支集

{ 0 }：它不能準確地表示為與具有包括0支集的檢驗函數相關的函數。它可以表示為Cauchy主值廣義積分的應用。

??? 對于多變量分布，奇異支集使我們能夠定義波前集(wave front sets)，并從數學分析的角度理解Huygens原理。奇異支集也可用于理解分布理論中的特殊現象，例如嘗試“乘以”分布(對Dirac δ 函數進行平方失敗——本質上是因為要乘以的分布的奇異集應該是不相交的)。

10.??? 支集族(Family of supports)

??? 基于一個拓撲空間 X 的一個支集族的抽象概念(適用于層理論(sheaf theory))由 Henri Cartan 定義。在將Poincaré對偶擴展到非緊流形時，“緊支集”思想自然地出現在對偶的一側；例如參見Alexander–Spanier上同調。

??? Bredon 在《層理論》(第二版，1997)中給出了這些定義。對于X 的閉子集族 Φ ，若它是下閉的，并且在有限并集下閉合，則其為一個支集族。其范圍是 Φ 上的并集。一個仿緊化支集集族進一步滿足：Φ 中的任何 Y，在子空間拓撲下，都是仿緊空間；并且 Φ 中存在某個 Z，它是其鄰域。若 X 是局部緊空間，假設滿足 Hausdorff 秩，則所有緊子集組成的族滿足進一步的條件，使其成為仿緊化的。