注：本文為 “矩陣 | 最小多項式” 相關合輯。
略作重排，如有內容異常，請看原文。

最小多項式

橘子蜂蜜 于 2019-05-22 22:48:25 發布

根據哈密頓 - 凱萊（Hamilton - Cayley）定理，任給數域 $P$ 上的一個 $n$ 級矩陣 $A$，總可以找到數域 $P$ 上一個多項式 $f(x)$，使 $f(A)=0$。如果多項式 $f(x)$ 滿足 $f(A)=0$，我們就稱 $f(x)$ 以 $A$ 為根。在所有以 $A$ 為根的多項式中，次數最低且首項系數為 $1$ 的多項式稱為 $A$ 的最小多項式。

接下來討論如何應用最小多項式來判斷一個矩陣能否對角化。

引理 1：矩陣 $A$ 的最小多項式是唯一的。

引理 2：設 $g(x)$ 是矩陣 $A$ 的最小多項式，那么 $f(x)$ 以 $A$ 為根的充分必要條件是 $g(x)$ 整除 $f(x)$，即 $g(x)\mid f(x)$。

由此可知，矩陣 $A$ 的最小多項式是 $A$ 的特征多項式的一個因式。

例 1：數量矩陣 $kE$ 的最小多項式為 $x?k$。特別地，單位矩陣的最小多項式為 $x?1$，零矩陣的最小多項式為 $x$。

另一方面，如果 $A$ 的最小多項式是一次多項式，那么 $A$ 一定是數量矩陣。

例 2：設 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& \\ & 1& \\ & & 1\end{array}\right)$，求 $A$ 的最小多項式。

解：因為 $A$ 的特征多項式為 $|xE?A|=(x?1{)}^3$，所以 $A$ 的最小多項式為 $(x?1{)}^3$ 的因式。由于 $A?E\ne 0$，而 $(A?E{)}^2=0$，因此 $A$ 的最小多項式為 $(x?1{)}^2$。

如果矩陣 $A$ 與 $B$ 相似，即 $B=T^{?1}AT$，那么對任一多項式 $f(x)$，有 $f(B)=T^{?1}f(A)T$。因此，$f(B)=0$ 當且僅當 $f(A)=0$。這說明相似矩陣具有相同的最小多項式，反之不然，即最小多項式相同的矩陣不一定相似。

例 3：設 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& & \\ & 1& & \\ & & 2& \\ & & & 2\end{array}\right)$。

$A$ 與 $B$ 的最小多項式都等于 $(x?1{)}^2(x?2)$，但是它們的特征多項式不同，因此 $A$ 和 $B$ 不相似。

引理 3：設 $A$ 是一個準對角矩陣 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & A_2\end{array}\right)$，并設 $A_1$ 的最小多項式為 $g_1(x)$，$A_2$ 的最小多項式為 $g_2(x)$，那么 $A$ 的最小多項式為 $g_1(x)$ 與 $g_2(x)$ 的最小公倍式 $[g_1(x),g_2(x)]$。

這個結論可以推廣到 $A$ 為若干個矩陣組成的準對角矩陣的情形，即：如果

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & ?& \\ & & & A_s\end{array}\right)$，

$A_i$ 的最小多項式為 $g_i(x)$，$i=1,2,?,s$，那么 $A$ 的最小多項式為 $[g_1(x),g_2(x),?,g_s(x)]$。

證明：記 $g(x)=[g_1(x),g_2(x)]$，首先

$g(A)=\left(\begin{array}{cc}g(A_1)& \\ & g(A_2)\end{array}\right)=0$，

因此 $g(x)$ 能被 $A$ 的最小多項式整除。其次，如果 $h(A)=0$，那么

$h(A)=\left(\begin{array}{cc}h(A_1)& \\ & h(A_2)\end{array}\right)=0$。

所以 $h(A_1)=0$，$h(A_2)=0$，因而 $g_1(x)\mid h(x)$，$g_2(x)\mid h(x)$，并由此得 $g(x)\mid h(x)$。這樣就證明了 $g(x)$ 是 $A$ 的最小多項式。

引理 4：$K$ 級若爾當（Jordan）塊 $J=\left(\begin{array}{cccc}a& & & \\ 1& ?& & \\ & ?& a& \\ & & 1& a\end{array}\right)$ 的最小多項式為 $(x?a{)}^K$。

證明：$J$ 的特征多項式為 $(x?a{)}^K$，而 $J?aE=\left(\begin{array}{cccc}0& & & \\ 1& ?& & \\ & ?& 0& \\ & & 1& 0\end{array}\right)$，$(J?aE{)}^{K?1}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ ?& 0& \\ 0& & \\ 1& 0?& 0\end{array}\right)\ne 0$，所以 $J$ 的最小多項式為 $(x?a{)}^K$。

定理：數域 $P$ 上 $n$ 級矩陣 $A$ 與對角矩陣相似的充分必要條件為 $A$ 的最小多項式是 $P$ 上互素的一次因式的乘積。

推論：復數矩陣 $A$ 與對角矩陣相似的充分必要條件是 $A$ 的最小多項式沒有重根。

---

【矩陣論筆記】最小多項式與Jordan型的關系

番茄發燒了 于 2020-05-07 17:02:01 發布

最小多項式的定義

方陣 $A$ 的次數最低、且首一的零化多項式稱為 $A$ 的最小多項式。

最小多項式的性質（定理4）

設方陣 $A$ 的最小多項式為 $m_A(\lambda )$，則有：

1. $A$ 的任何零化多項式都能被 $m_A(\lambda )$ 整除；
2. $A$ 的最小多項式 $m_A(\lambda )$ 是唯一的；
3. ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值 $?m_A({\lambda }_0)=0$。

最小多項式的一般形式

假設 $n$ 階方陣 $A$ 的特征多項式為：
$$f_A(\lambda )=|\lambda I?A|=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{n_2}?(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{n_s}$$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_s$ 是 $A$ 的所有不同特征值，則 $A$ 的最小多項式有如下形式：
$$m_A(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{m_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{m_2}?(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{m_s}$$

計算最小多項式的方法通常是從 $m_i=1$ 開始逐步驗證，將 $A$ 代入多項式中判斷是否為零矩陣。

Jordan 塊的最小多項式

Jordan 塊的最小多項式與其特征多項式相同，階數無法降低。

對于 $r\times r$ 的 Jordan 塊，
$$J=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_0& 1& & \\ & {\lambda }_0& ?& \\ & & ?& 1\\ & & & {\lambda }_0\end{array}\right]$$
滿足：
$$(J?{\lambda }_{0}I{)}^{r?1}=\left[\begin{array}{cccc}0& ?& 0& 1\\ & 0& ?& 0\\ & & ?& ?\\ & & & 0\end{array}\right]\ne O,(J?{\lambda }_{0}I{)}^r=O$$
因此，其最小多項式為 $(\lambda ?{\lambda }_0{)}^r$。

例題：求矩陣的最小多項式

例 9 求矩陣 $A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& ?1& ?1\\ 0& 0& 0& 5& 3\\ 0& 0& 0& ?4& ?2\end{array}\right]$ 的最小多項式。

解：因為 $A$ 是對角塊矩陣，即 $A=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & A_2\end{array}\right]$，其中：

• $A_1=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ 是一個 Jordan 塊，其最小多項式為 $m_1(\lambda )=(\lambda ?2{)}^2$（階數不可降低）；

• $A_2=\left[\begin{array}{ccc}2& ?1& ?1\\ 0& 5& 3\\ 0& ?4& ?2\end{array}\right]$，其特征多項式為 $f_{A_2}(\lambda )=(\lambda ?2{)}^2(\lambda ?1)$。

  通過驗證可知，$A_2$ 的最小多項式為 $m_2(\lambda )=(\lambda ?2)(\lambda ?1)$。

因此，$A$ 的最小多項式為 $A_1$ 和 $A_2$ 最小多項式的最小公倍式，即：
$$m_A(\lambda )=(\lambda ?2{)}^2(\lambda ?1)$$

最小多項式的應用

最小多項式可用于簡化方陣多項式的計算，主要途徑包括：

1. 相似化簡為對角陣；
2. 通過零化多項式對多項式降階。

相關定理

• 相似矩陣具有相同的最小多項式；
• $n$ 階方陣可對角化的充要條件是其最小多項式無重根。

最小多項式與 Jordan 型的關系

假設 $n$ 階方陣 $A$ 的特征多項式為：
$$f_A(\lambda )=|\lambda I?A|=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{n_2}?(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{n_s}$$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_s$ 是 $A$ 的所有不同特征值，$n_i$ 為特征值 ${\lambda }_i$ 的代數重數，$k_i=\dim E_{{\lambda }_i}$ 為幾何重數，$i=1,2,?,s.$ 且 $A$ 的最小多項式為：
$$m_A(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{m_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{m_2}?(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{m_s}$$

方陣 $A$ 的性質

1. $A$ 的 Jordan 標準形由 $s$ 個子 Jordan 矩陣構成：
   $$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & ?& \\ & & & J_s\end{array}\right]$$
   其中 $J_i$ 是對角元為 ${\lambda }_i$ 的 $n_i$ 階子 Jordan 矩陣（階數等于代數重數 $n_i$）。

2. $A$ 的子 Jordan 矩陣 $J_i$ 由 $k_i$ 個 Jordan 塊構成（數量等于幾何重數 $k_i$）：
   $$J_i=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{i1}& & & \\ & J_{i2}& & \\ & & ?& \\ & & & J_{i{k}_i}\end{array}\right]$$
   其中 $J_{ij}$ 是對角元為 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 塊。

3. $A$ 的最小多項式中 $(\lambda ?{\lambda }_i{)}^{m_i}$ 的冪次 $m_i$ 等于子 Jordan 矩陣 $J_i$ 中 Jordan 塊的最高階數。

例題：確定Jordan標準形

例10 設 $A$ 的特征多項式和最小多項式分別為：
$$f_A(\lambda )=(\lambda ?3{)}^4(\lambda ?2{)}^2,m_A(\lambda )=(\lambda ?3{)}^2(\lambda ?2{)}^2$$
試確定 $A$ 的所有可能 Jordan 標準形。

解：

• $A$ 有兩個不同的特征值 $3$ 和 $2$，代數重數分別為 $4$ 和 $2$，因此其 Jordan 標準形由兩個子 Jordan 矩陣 $J_1$（4 階）和 $J_2$（2 階）構成，即：

  $J=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& \\ & J_2\end{array}\right]$，$J_1=\left[\begin{array}{cccc}3& & & \\ & 3& & \\ & & 3& \\ & & & 3\end{array}\right]$，$J_2=\left[\begin{array}{cc}2& \\ & 2\end{array}\right]$

• 由最小多項式 $m_A(\lambda )=(\lambda ?3{)}^2(\lambda ?2{)}^2$ 可知，$J_1$ 中 Jordan 塊的最高階數為 $2$，$J_2$ 中 Jordan 塊的最高階數為 $2$。

因此，$A$ 的可能 Jordan 標準形為：
$$J=\left[\begin{array}{cccccc}3& 1& & & & \\ & 3& & & & \\ & & 3& 1& & \\ & & & 3& & \\ & & & & 2& 1\\ & & & & & 2\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{cccccc}3& 1& & & & \\ & 3& 1& & & \\ & & 3& & & \\ & & & 3& & \\ & & & & 2& 1\\ & & & & & 2\end{array}\right]$$

---

via:

• 最小多項式-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/qq_45011547/article/details/90413462

• 【矩陣論筆記】最小多項式與Jordan型的關系-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/bless2015/article/details/105974793