圖形學初識--空間變換

文章目錄

前言
正文
- 矩陣和向量相乘
- 二維變換
- - 1、縮放
  - 2、旋轉
  - 3、平移
  - 4、齊次坐標下總結
- 三維變換
- - 1、縮放
  - 2、平移
  - 3、旋轉
  - - 繞X軸旋轉：
    - 繞Z軸旋轉：
    - 繞Y軸旋轉：
結尾：喜歡的小伙伴可以點點關注+贊哦

前言

前面章節補充了一下基本的線性代數中關于向量和矩陣的背景知識，這一節咱們講解一下在二維和三維中常用的空間變換，主要包括：平移、旋轉、縮放等！

正文

矩陣和向量相乘

假設有一個矩陣 $M$ ，有一個向量 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ，則令 $\vec P' = M \times \vec P = \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ .

從上節，我們已經知道矩陣和向量相乘結果還是個向量，假設我們把向量 $P$ 看作一個坐標，那么 $P^{'}$ 的坐標就是矩陣 $M$ 應用之后的結果，此時我們稱對點 $P$ 應用矩陣 $M$ 的變換。

二維變換

假設在二維空間下，矩陣 $M$ 是2x2的，向量 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ 是二維向量。

矩陣乘向量在二維空間本質理解： 假設我們將 $M$ 按照列方向，分解成兩個列向量 $(\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2})$ ，則 $\vec{P'} = (x\vec{\alpha_1} + y\vec{\alpha_2})$

結果表明： 矩陣和向量相乘，就相當于向量的軸分量作為權重，給矩陣的列向量加權求和！

類似的，我們也可以把矩陣按照行向量分解，也可以表達成矩陣的行向量加權相加的形式。只不過列向量分解形式更為常見！

1、縮放

縮放矩陣M如下， $S_x$ 為x軸向的縮放因子， $S_y$ 為y軸向的縮放因子。
$\begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix}$
則 $\begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x * x\\s_y * y \end{pmatrix}$

舉個例子： $\begin{bmatrix} 0.5& 0\\ 0 & 0.5\\ \end{bmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$ ，則 $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$ ，如下圖所示：

在這里插入圖片描述

2、旋轉

默認地，正角度旋轉代表逆時針，如下圖所示的紅色正方形，就是旋轉45°

在這里插入圖片描述

旋轉矩陣 $R_\theta$ 如下：
$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{bmatrix}$

基本推導如下圖：

在這里插入圖片描述

我們使用最笨的待定系數法求解，將矩陣 $R_{\theta}$ 設為 $\begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}$ ，然后將兩個點的前后結果帶入計算，如下：
$\begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{\theta}\\\sin{\theta} \end{pmatrix}， \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -\sin{\theta}\\\cos{\theta} \end{pmatrix}$
所以自然得到：
$\begin{align} A &= \cos \theta\\ B &= -\sin \theta\\ C &= \sin \theta\\ D &= cos \theta\\ \end{align}$

3、平移

平移就是讓x軸和y軸的坐標分別偏移一定的量，如下圖所示：

在這里插入圖片描述

$x' = x + t_x\\ y' = y + t_y$

我們記 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} t_x\\t_y \end{pmatrix}$ ，則上述可以表示為 $\vec{P'} = \vec P + \vec T$

但是我們發現，上述的形式沒有用上矩陣，但在數學、物理中，人們都講究統一，因此人們引入了齊次坐標的概念。

為了迎合平移也能統一使用矩陣進行變換，認為的給二維的向量添加一個維度，升為三維，如下：
$\begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}，vector = \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}$
我們發現，位置向量咱們第三維補充1，方向向量咱們第三維補充0。

于是，咱們自然而然就可以定義出平移矩陣T，如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：t_x 表示x軸的偏移量，t_y表示y軸的偏移量$
于是，針對位置點的平移、以及位置向量的平移計算結果如下：

在這里插入圖片描述

我們發現，方向向量的結果沒有變化，這難道出問題了么？并沒有，因為方向向量本身就是位置無關的，不變才是對的，而針對某個頂點是變化了的，這就符合咱們的要求！

4、齊次坐標下總結

引入齊次坐標后，縮放和旋轉矩陣多了一個維度，這里列舉一下：

縮放矩陣：
$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
旋轉矩陣：
$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

平移矩陣：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$

三維變換

首先，由于多引入了一個維度，復雜度上升。坐標系自然而然分為兩種：左手系、右手系，示意圖如下：

在這里插入圖片描述

**為了方便，后續三維空間中的矩陣變換講解以右手系為例！**左手系也是類似，大家熟練之后可自行推導！

同理，在三維坐標系下，同樣為了統一平移的操作，引入齊次坐標后，變換矩陣都是4x4的，這里不多贅述！

1、縮放

由于縮放最是容易，也最容易理解，這里直接給出縮放矩陣：
$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：s_x、s_y、s_z分別為x、y、z軸的縮放比例$

2、平移

也是類似，這里直接給出平移矩陣：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：t_x、t_y、t_z分別為x、y、z軸的偏移量$

3、旋轉

由于三維世界中，旋轉并不是繞一個點，而是繞一個旋轉軸，所以最簡單的旋轉就是繞：x、y、z軸的旋轉。

旋轉規則： 繞某個軸旋轉 $\theta$ 角度，就是表明逆著此軸的方向眼睛看過去，逆時針旋轉 $\theta$ 角度。

例如如下示意圖就是繞z軸旋轉 $\theta$ 角度：

在這里插入圖片描述

并且我們一定要理解，繞z軸轉動時，所有點的z坐標是不會變化的！

這里需要對照二維空間中的旋轉矩陣的理解，本質上：二維旋轉就是將兩個相互垂直的基向量作為坐標軸，逆時針旋轉的結果

所以，上述的繞z軸的旋轉，可以理解為基向量就是 $\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$

這里給出一個基本任意正交基向量 $\vec{i}、\vec{j}$ 的旋轉示意圖：

在這里插入圖片描述

繞X軸旋轉：

示意圖如下：

在這里插入圖片描述

因此，我們只是將基向量變成 $\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$

所以，很容易構造出以下等式：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\i\\j\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\1 \end{pmatrix}$

自然而然可以得出，繞x軸的旋轉矩陣如下：
$R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

繞Z軸旋轉：

同理，示意圖：

在這里插入圖片描述

容易構造出以下等式：
$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} i\\j\\z\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\z\\1 \end{pmatrix}$
自然而然可以得出，繞z軸的旋轉矩陣如下：
$R_z = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

繞Y軸旋轉：

Y軸相比X和Z比較特殊，也是新手初學三維空間旋轉最容易困惑的地方。但在咱們這里不存在，示意圖如下：

在這里插入圖片描述

容易構造出以下等式：
$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} j\\y\\i\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\y\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\1 \end{pmatrix}$
咱們發現，這里的形式稍微較繞x和繞z不一樣了

本質就是因為這里的正交基分別是： $\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$

自然而然可以得出，繞y軸的旋轉矩陣如下：
$R_y = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$