一、VARE簡介

VARE（Vector Autoregressive Evolution）算法是2023年提出的一種新型的動態多目標優化（DMO）算法，旨在有效處理隨時間變化的多目標優化問題。它通過結合向量自回歸（VAR）模型和環境感知超變異（EAH）策略，動態適應環境變化，預測新的 Pareto 最優解，并保持種群多樣性。VARE 的主要貢獻在于提出了一個能夠考慮決策變量之間相互關系的 VAR 模型用于種群預測，并引入 EAH 策略來動態調整種群多樣性。

（1）向量自回歸（VAR）模型

VAR 模型是一種用于預測相互聯系的時間序列系統的統計模型。在 VARE 算法中，VAR 模型用于預測新環境中的解，考慮了決策變量之間的相互關系。VAR 模型的數學形式如下：

$$x_t=\alpha +{\beta }_1{x}_{t?1}+{\beta }_2{x}_{t?2}+?+{\beta }_l{x}_{t?l}+\mu$$

其中：

• $x_t$是一個 n 維內生變量向量，表示當前時刻的決策變量。
• $\alpha$ 是一個 n 維常數向量。
• ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_l$是模型的系數矩陣，表示不同滯后階數對當前值的影響。
• $l$ 是滯后階數，表示模型考慮的過去時間步數。
• $\mu$是一個零均值白噪聲向量，表示模型的誤差項。

在 VARE 中，為了處理高維決策變量帶來的參數稀疏問題，使用主成分分析（PCA）進行降維。首先將歷史解數據映射到低維空間，然后在低維空間中構建 VAR 模型，最后將預測結果映射回原始決策空間。

（2）環境感知超變異（EAH）策略

EAH 策略用于動態調整種群多樣性，以應對環境變化。EAH 根據目標空間和決策空間的變化估計環境變化的嚴重程度，并據此調整超變異的分布指數。具體計算如下：

客觀空間變化度量

在目標空間，EAH 計算所有目標的相對差異平均值 (?F)：

$$?F=\frac{1}{MN}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\left|\frac{f_j(x_i,t+1)?f_j(x_i,t)}{f_j(x_i,t)+\epsilon }\right|$$

其中：

• $M$ 是目標數量。
• $N$是種群大小。
• $f_j(x_i,t)$是個體 $x_i$在時間 $t$的第 $j$個目標值。
• $\epsilon$是一個小常數，用于防止除以零。

決策空間變化度量

在決策空間，EAH 計算每個個體的相對決策差異平均值 (?X)：

$$?X=\frac{1}{Nn}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^n\left|\frac{{\hat{x}}_{i,j}?x_{i,j}}{x_{i,j}+\epsilon }\right|$$

其中：

• $n$是決策變量的數量。
• $x_{i,j}$是個體 $x_i$在時間 $t$ 的第 $j$個決策變量值。
• ${\hat{x}}_{i,j}$是個體 $x_i$ 在時間 $t+1$ 的第 $j$ 個決策變量值。

分布指數調整

根據 $?F$ 和 $?X$計算超變異的分布指數 $\eta$：

$$\eta =20\times \max (e^{?(?F+?X)},0.1)$$

該公式將 $\eta$ 的取值范圍限制在 [2, 20]，其中 $\eta =20$ 表示沒有環境變化，而 $\eta \ge 2$則確保超變異的解不會過于隨機。

（3）自適應變化響應機制

VARE 算法通過自適應變化響應機制，在 VAR 預測和 EAH 之間進行選擇。選擇機制基于過去環境變化中不同策略的成功率。具體來說，為每個參考方向 ${\lambda }_i$ 定義選擇 VAR 預測的概率 ${\pi }_i$：

$${\pi }_i=\frac{{\rho }_{i,p}}{{\rho }_{i,p}+{\rho }_{i,m}}$$

其中：

• ${\rho }_{i,s}$是策略 $s$（可以是 VAR 預測或 EAH）在過去 $L$個環境變化中生成的個體被保留下來的比率。
• $L$ 是過去環境變化的數量，通常設置為等于 VAR 模型的滯后階數 $l$。

（4）算法流程

1. 初始化：生成均勻分布的參考方向，初始化種群和 VARE 概率向量。
2. 環境變化檢測：在每一代開始時檢測環境是否發生變化。
3. 響應環境變化：
   • 如果檢測到環境變化，將當前種群存檔，并根據 VARE 概率決定使用 VAR 預測還是 EAH 生成新個體。
   • 若未檢測到環境變化，則通過遺傳操作生成新種群。
4. 多樣性中心排序：對當前種群和新生成的個體進行多樣性中心排序，更新種群。
5. 更新 VARE 概率：根據個體保留的成功率更新 VARE 概率。
   
   
   

（5）關鍵創新點

1. 向量自回歸（VAR）模型：用于考慮決策變量之間的相互關系，預測新環境中的解。通過主成分分析（PCA）進行降維，提高模型參數估計效率。
2. 環境感知超變異（EAH）：根據目標空間和決策空間的變化估計環境變化的嚴重程度，動態調整超變異的分布指數，增加種群多樣性。
3. 自適應變化響應機制：根據過去環境變化中不同策略的成功率，自適應選擇 VAR 預測或 EAH 作為響應機制。

（6）參考文獻

[1] Jiang S , Wang Y , Hu Y ,et al. Vector Autoregressive Evolution for Dynamic Multi-Objective Optimisation[J]. ArXiv, 2023, abs/2305.12752.DOI:10.48550/arXiv.2305.12752.

二、VARE求解DF1-DF14

（1）CEC2018 動態多目標測試函數介紹

CEC2018 競賽定義了 14 個動態多目標測試函數（DF1-DF14），分為兩類：

1. 雙目標問題（DF1-DF9）：這些函數具有兩個目標，用于測試算法在動態環境下的性能。
2. 三目標問題（DF10-DF14）：這些函數具有三個目標，增加了優化的復雜性。

這些測試函數設計了不同的動態特性，以評估動態多目標優化算法的性能。動態特性包括：

• 目標位置變化：Pareto 最優前沿（PF）或 Pareto 最優解集（PS）的位置隨時間變化。
• 約束條件變化：動態約束條件的引入或變化。
• 目標數量或決策變量數量變化：在某些測試函數中，目標數量或決策變量數量可能隨時間變化。

測試函數	目標數量	動態特性
DF1	2	PF 的位置隨時間線性移動
DF2	2	PF 的位置隨時間非線性移動
DF3	2	PF 的位置和形狀隨時間變化
DF4	2	PF 的位置和形狀隨時間劇烈變化
DF5	2	PF 的凸性隨時間變化
DF6	2	PF 的凹性隨時間變化，并引入局部最優解
DF7	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移動
DF8	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移動，且存在多個膝點
DF9	2	PF 斷裂成多個部分
DF10	3	PF 的位置隨時間移動
DF11	3	PF 的位置和形狀隨時間變化
DF12	3	PF 的位置和形狀隨時間劇烈變化
DF13	3	PF 的凸性隨時間變化
DF14	3	PF 的凹性隨時間變化，并引入局部最優解

（2）部分MATLAB代碼

%% 計算POF
for i=1:size(ArchiveResult{1,1}{1,1},1)/(10*nt*taut)k1=1+(i-1)*(10*nt*taut);k2=k1+nt*taut;if prob_ids<110data=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-1:end);elsedata=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-2:end);endresult(i).data=data;%     plot(data(:,1)+i,data(:,2)+i,'ro')%     hold on
end
%% 計算TurePOF
prob=problem(prob_ids);
k=1;
for t=0:1:100/taut-1PF(k).data=generatePF(prob,t);PF(k).t=t;k=k+1;
end%% 畫圖
figure
Fm=size(PF,2);
Tm=size(PF(1).data,2);
if Tm<3for t=1:Fmplot(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,'ro');hold onplot(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')
elsefor t=1:Fmplot3(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,result(t).data(:,3)+PF(t).t,'ro');hold onplot3(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,PF(t).data(:,3)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')zlabel('f3+t')
end
title(prob.name)

（3）部分結果

DF1：

DF4：

DF10：

三、完整MATLAB見下方名片