本章內容是考試的重中之重，分值最高占17分，而且多是難題——證明題

連續函數性質定理

$設f(x)在[a,b]上連續，則：$

定理1 有界與最值定理

$m\le f(x)\le M，其中m，M分別為f(x)在[a,b]上的最小值與最大值$
閉區間上連續函數必有界且能取到最大值最小值。

定理2 介值定理

$當m\le \mu \le M時，存在\xi \in [a,b]使得f(\xi )=\mu$
顯然介值定理可以看作是有界與最值定理的變體。

定理3 平均值定理

當$a<x_1<x_2<\dots \dots <x_n<b時，在[x_1,x_n]內至少存在一點\xi$，使得
$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}$$

定理4 零點定理

$當f(a).f(b)<0時，存在\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=0$
推廣的零點定理： 若$f(x)在(a,b)內連續，{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\alpha ，li{m}_{x\to b^{?}}f(x)=\beta ，且\alpha .\beta <0，則f(x)=0在(a,b)$內至少有一個根。
零點定理可以看作是介值定理的特例。

應用：實系數奇數次多項式方程至少有一個實根
首先設函數f(x)等于這個實系數奇數次多項式方程：
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n?1}{x}^{n?1}+?+a_0(a_n\ne 0,n為奇數)$$

由$f(x)$的連續性及推廣的零點定理可知，存在$\xi \in (?\infty ,+\infty )$，使$f(\xi )=0，即f(x)=0$至少有一個實根。

定理5 費馬定理

若函數在$x_0處取得局部極值且可導，則f^{\prime }(x_0)=0$
證明：

導數介值定理(達布定理)

達布定理（Darboux’s Theorem）是微積分中的重要定理，它指出：?若函數$f(x)在閉區間[a,b]$上可導，則其導數$f^{\prime }(x)$具有介值性質。即對任意實數k滿足$f^{\prime }(a)<k<f^{\prime }(b)（或f^{\prime }(a)>k>f^{\prime }(b))$，存在點$c\in (a,b)$ 使得$f^{\prime }(c)=k$。
不需要導數連續

中值定理

從連續到可導再到泰勒公式全都連起來了：

羅爾定理

簡單的時候可以用暴力求解，但是如果再復雜一些呢？在這里不妨使用羅爾定理來求解。

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒公式

討論方程的根問題——微分等式

事實上，討論方程$f(x)=0$的根就是討論函數$f(x)$的零點，從幾何上來講也是討論曲線之間的交點。通常可以考慮以下解法：

1. 零點定理
   可以用來證明根的存在性，若$f(x)在[a,b]上連續，且f(a).f(b)<0，則f(x)=0在(a,b)$內至少有一個根。
2. 單調性
   可以用來證明根的唯一性，若$f(x)在(a,b)內單調，則f(x)=0在(a,b)$內至多有一個根，這里區間$(a,b)$可以是有限區間也可以是無窮區間。這一步可以直接用求導解決。
3. 羅爾定理及其推論
   當不易使用零點定理時，可考慮羅爾定理及其推論。
   如果f(x)在區間$I上n$階可導，且$f^n(x)\ne 0$，即$f^n(x)\ne 0無實根(至多有0個根）$，于是$f(x)=0至多有n個根$。
   證明：使用反證法，并多次使用羅爾定理。假設$f(x)=0在I上有n+1$個實根，即$f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_{n+1})=0$
   不妨設$x_1<x_2<x_3<...<x_{n+1}$，在每個小區間使用羅爾定理，可知$f^{\prime }(x)=0$至少有$n$個實根。再次使用羅爾定理可知，$f^{\prime \prime }(x)=0至少有n?1$個實根；依次逐階遞推，則$f^n(x)=0$至少有1個實根，設為ξ，即$f^n(\xi )=0$。與題干矛盾，故假設不成立。原命題成立。
   事實上有更一般的結論，即羅爾原話：若$f^n(x)=0至多有k$個根，則$f(x)=0至多有k+n$個根。這個就像階數換根數了。
   整體的解題步驟就是：先證根存在再證根唯一。

• 證明$2^x?x^2?1=0$有且僅有三個根

證明不等式問題

使用函數的性質(單調性、凹凸性、最值等)證明

例題如下：

• 證明當$0<x<\frac{\pi }{2}$時，有$sinx>\frac{2x}{\pi }$
  其實用自己的方法做對也行，不過也要開拓眼界，看一下別的方法：
  
• 證明：
  $$(ln\frac{1+x}{x}?\frac{1}{1+x}{)}^2<\frac{1}{x(1+x{)}^2}(x>0)$$
  
  

使用常數變量化證明不等式

如果題目中欲證的不等式中都是常數，則可以將其中一個或者幾個常數變量化，再利用導數的性質去證明。

• 設$0<a<b$，證明不等式
  $$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{lnb?lna}{b?a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$$

使用中值定理證明不等式

主要使用拉格朗日中值定理或者泰勒公式