在四邊形 A B C D ABCD ABCD 中, A B = A D AB = AD AB=AD, B C ⊥ A B BC \perp AB BC⊥AB, ∠ D C B \angle DCB ∠DCB 的平分線與 A B AB AB 交于 E E E, 過點 A A A 且垂直于 C D CD CD 的直線與 D E DE DE 交于 F F F, M M M 是 B D BD BD 的中點. 求證: F M ∥ E C FM \parallel EC FM∥EC.
(《高中數學聯賽模擬試題精選》第17套)
證明:
延長 M A MA MA 交 ( B D C ) (BDC) (BDC) 于點 N N N, 設 N N N 在 A B AB AB 上的投影為點 P P P, 以 A A A 為圓心, A P AP AP 為半徑作圓, 交 M P MP MP 于點 P P P, F ′ F' F′.
由 D E DE DE 平分 ∠ B D C \angle BDC ∠BDC 可知 E D ED ED 經過點 N N N.
由 A B = A C AB=AC AB=AC, M M M 是 B C BC BC 的中點可知 ∠ B M A = π 2 = ∠ N P B \angle BMA=\frac{\pi}{2}=\angle NPB ∠BMA=2π?=∠NPB, 由此可知 N N N, P P P, M M M, B B B 四點共圓.
∠ A E N = π 2 ? ∠ B D E = 1 2 ( π ? ∠ B D C ) = ∠ B N A \angle AEN=\frac{\pi}{2}-\angle BDE=\frac{1}{2}(\pi-\angle BDC)=\angle BNA ∠AEN=2π??∠BDE=21?(π?∠BDC)=∠BNA, 所以 △ A E N ～ △ A N B \triangle AEN \sim \triangle ANB △AEN～△ANB.
∠ A F ′ P = ∠ A P F = ∠ A N B = ∠ A E N \angle AF'P=\angle APF=\angle ANB=\angle AEN ∠AF′P=∠APF=∠ANB=∠AEN. 由此可知 E N / / P M EN//PM EN//PM.
下面證明: F ′ F' F′ 即為 F F F. 這只需證明: A F ⊥ D C AF\bot DC AF⊥DC 且 E E E, F ′ F' F′, C C C 共線.
∠ F ′ A M = ∠ A F ′ P ? ∠ P M A = ∠ A E N ? ∠ P B N = ∠ E N B = ∠ B C D \angle F'AM=\angle AF'P-\angle PMA=\angle AEN-\angle PBN=\angle ENB=\angle BCD ∠F′AM=∠AF′P?∠PMA=∠AEN?∠PBN=∠ENB=∠BCD. 結合 A M ⊥ B C AM\bot BC AM⊥BC 可知 A F ′ ⊥ D C AF' \bot DC AF′⊥DC.
E N / B N = A E / A N = A P / A M = A F ′ / A M EN/BN=AE/AN=AP/AM=AF'/AM EN/BN=AE/AN=AP/AM=AF′/AM, 結合 ∠ F ′ A M = ∠ E N B \angle F'AM=\angle ENB ∠F′AM=∠ENB 可知 △ E N B ～ △ F ′ A M \triangle ENB \sim \triangle F'AM △ENB～△F′AM.
由梅涅勞斯定理, 證明 E E E, F ′ F' F′, C C C 共線只需證明: P E E B B C C M M F ′ F ′ P = 1 \frac{PE}{EB}\frac{BC}{CM}\frac{MF'}{F'P}=1 EBPE?CMBC?F′PMF′?=1.
P E E B M F ′ F ′ P = P E F ′ P M F ′ E B = P E F ′ P A F ′ E N = P E E N A F ′ F ′ P = cos ? ∠ P E N 1 2 cos ? ∠ A F ′ P = 1 2 \frac{PE}{EB}\frac{MF'}{F'P}=\frac{PE}{F'P}\frac{MF'}{EB}=\frac{PE}{F'P}\frac{AF'}{EN}=\frac{PE}{EN}\frac{AF'}{F'P}=\cos \angle PEN \frac{1}{2\cos \angle AF'P}=\frac{1}{2} EBPE?F′PMF′?=F′PPE?EBMF′?=F′PPE?ENAF′?=ENPE?F′PAF′?=cos∠PEN2cos∠AF′P1?=21?.
B C C M = 2 \frac{BC}{CM} = 2 CMBC?=2.
所以 P E E B B C C M M F ′ F ′ P = 1 \frac{PE}{EB}\frac{BC}{CM}\frac{MF'}{F'P}=1 EBPE?CMBC?F′PMF′?=1.
綜上, F ′ F' F′ 即為點 F F F.
證畢.
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