在 △ A B C \triangle ABC △ABC 中, A B < A C AB< AC AB<AC, 點 K K K, L L L, M M M 分別是邊 B C BC BC, C A C A CA, A B AB AB 的中點. △ A B C \triangle ABC △ABC 的內切圓圓心為 I I I, 且與邊 B C BC BC 相切于點 D D D. 直線 l l l 經過線段 I D ID ID 的中點且與 I K IK IK 垂直, 與直線 L M LM LM 交于點 P P P. 證明: ∠ P I A = 9 0 ° \angle P I A = 90^{\circ} ∠PIA=90°.
(《高中數學聯賽模擬試題精選》第18套)
證明:
設 l l l 交 I D ID ID 于點 T T T, 交 I K IK IK 于點 Q Q Q, 延長 D I DI DI 交 M L ML ML 于點 R R R.
顯然 R R R, P P P, Q Q Q, I I I 四點共圓且 P I PI PI 為直徑.
要證明 ∠ P I A = π 2 \angle PIA=\frac{\pi}{2} ∠PIA=2π?, 只需證明 A I AI AI 切 ( R P Q ) (RPQ) (RPQ) 于點 I I I, 這等價于證明 ∠ R Q I = ∠ R I A \angle RQI=\angle RIA ∠RQI=∠RIA.
延長 D I DI DI 交內切圓于點 S S S. 設過 S S S 的 B C BC BC 的平行線分別交 A B AB AB, A C AC AC 于點 B ′ B' B′, C ′ C' C′. 設 A A A 在 B ′ C ′ B'C' B′C′ 和 B C BC BC 上的投影分別為點 H ′ H' H′, H H H. 設 D ′ D' D′ 為 ∠ B A C \angle BAC ∠BAC 內的旁切圓在 B C BC BC 上的切點.
顯然 ∠ B ′ A C ′ ～ △ A B C \angle B'AC' \sim \triangle ABC ∠B′AC′～△ABC, ⊙ I \odot I ⊙I 是 △ A B ′ C ′ \triangle AB'C' △AB′C′ 的旁切圓, S S S 是其在 B ′ C ′ B'C' B′C′ 上的切點. 由此易知 S S S 和 D ′ D' D′ 是對應點, 進而可知 A A A, S S S, D ′ D' D′ 共線.
顯然 I K / / S D ′ IK//SD' IK//SD′, 所以 ∠ D S D ′ = ∠ D I K \angle DSD'=\angle DIK ∠DSD′=∠DIK.
A S / I S = A S A H ′ A H ′ I S AS/IS = \frac{AS}{AH'} \frac{AH'}{IS} AS/IS=AH′AS?ISAH′?.
I R / I Q = I R I T I T I Q IR/IQ = \frac{IR}{IT} \frac{IT}{IQ} IR/IQ=ITIR?IQIT?.
易知 A S A H ′ = I T I Q \frac{AS}{AH'} = \frac{IT}{IQ} AH′AS?=IQIT?.
A S A D ′ = A H ′ A H \frac{AS}{AD'} = \frac{AH'}{AH} AD′AS?=AHAH′?
I R I T = 1 2 A H ? I D 1 2 I D = A H ? 2 I D I D \frac{IR}{IT} = \frac{\frac{1}{2}AH-ID}{\frac{1}{2}ID}=\frac{AH-2ID}{ID} ITIR?=21?ID21?AH?ID?=IDAH?2ID?
A H ′ I S = A H ? 2 I D I D = I R I T \frac{AH'}{IS} = \frac{AH-2ID}{ID} = \frac{IR}{IT} ISAH′?=IDAH?2ID?=ITIR?.
綜上, △ A S I ～ △ R I Q \triangle ASI \sim \triangle RIQ △ASI～△RIQ. 由此可知 ∠ A I S = ∠ R Q I \angle AIS=\angle RQI ∠AIS=∠RQI.
證畢.
)
 函數中使用 TypeScript 處理 null 和 undefined 的最佳實踐)
)
