問題分析

在鉆孔過程中，鉆頭的運動可以分為兩部分：

1. 公轉：鉆頭的軸線繞理想軸線（鉆孔中心線）做圓周運動。
2. 自轉：鉆頭繞自身軸線做旋轉運動。

由于公轉和自轉的疊加，鉆尖的運動軌跡會形成復雜的曲線，最終鉆出多邊形孔。我們需要建立一個數學模型，詳細描述鉆尖的運動軌跡。

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1. 定義坐標系和參數

• 設鉆孔中心為原點 $ O$，建立固定坐標系$ Oxyz $，其中 $ z $軸為理想軸線（鉆孔中心線）。
• 鉆頭的公轉半徑為$ R$（即鉆頭軸線到理想軸線的距離）。
• 鉆頭的自轉半徑為$ r $（即鉆尖最大外徑處到鉆頭軸線的距離）。
• 鉆頭的公轉角速度為 $ \omega_p $（繞理想軸線旋轉的角速度）。
• 鉆頭的自轉角速度為 $ \omega_s $（繞自身軸線旋轉的角速度）。
• 時間變量為 $ t $。

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2. 描述鉆頭軸線的運動（公轉）

鉆頭軸線在公轉過程中繞理想軸線做圓周運動。其位置矢量 $ \mathbf{R}_c(t) $ 可以表示為：
$${\mathbf{R}}_c(t)=\left(\begin{array}{c}R\cos ({\omega }_{p}t)\\ R\sin ({\omega }_{p}t)\\ 0\end{array}\right)$$

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3. 描述鉆尖相對于鉆頭軸線的運動（自轉）

鉆尖繞鉆頭軸線做自轉運動，其位置矢量 $ \mathbf{r}_s(t) $可以表示為：
$${\mathbf{r}}_s(t)=\left(\begin{array}{c}r\cos ({\omega }_{s}t+?)\\ r\sin ({\omega }_{s}t+?)\\ 0\end{array}\right)$$
其中 $ \phi $ 是初始相位角，表示鉆尖在 $ t = 0 $時的初始位置。

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4. 描述鉆尖的絕對運動

鉆尖的絕對位置 $ \mathbf{r}(t)$是鉆頭軸線的公轉運動與鉆尖自轉運動的疊加：
$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{R}}_c(t)+{\mathbf{r}}_s(t)$$
即：
$$\mathbf{r}(t)=\left(\begin{array}{c}R\cos ({\omega }_{p}t)+r\cos ({\omega }_{s}t+?)\\ R\sin ({\omega }_{p}t)+r\sin ({\omega }_{s}t+?)\\ 0\end{array}\right)$$

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5. 分析運動軌跡的特性

鉆尖的運動軌跡取決于公轉角速度 $ \omega_p $ 和自轉角速度 $\omega_s $的比值：

• 如果 $ \omega_p $ 和$ \omega_s $ 的比值為有理數，鉆尖的運動軌跡是閉合的，形成多邊形孔。
• 如果 $\omega_p $ 和 $ \omega_s $ 的比值為無理數，鉆尖的運動軌跡是非閉合的，形成復雜的曲線。

5.1 多邊形孔的形成條件

假設 $ \omega_p $ 和 $ \omega_s $ 的比值為有理數，即：
$$\frac{{\omega }_p}{{\omega }_s}=\frac{m}{n}$$
其中 $m$ 和$n $是互質的整數。此時，鉆尖的運動軌跡是閉合的，且形成 $ n $邊形的多邊形孔。

5.2 鉆尖軌跡的參數方程

鉆尖的軌跡可以表示為：
$$x(t)=R\cos ({\omega }_{p}t)+r\cos ({\omega }_{s}t+?)$$
$$y(t)=R\sin ({\omega }_{p}t)+r\sin ({\omega }_{s}t+?)$$

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6. 特殊情況分析

6.1 當 $ \omega_p = \omega_s $

如果公轉角速度和自轉角速度相等$ \omega_p = \omega_s $，則鉆尖的運動軌跡為：
$$x(t)=R\cos ({\omega }_{p}t)+r\cos ({\omega }_{p}t+?)$$
$$y(t)=R\sin ({\omega }_{p}t)+r\sin ({\omega }_{p}t+?)$$
此時，鉆尖的運動軌跡是一個半徑為 $ R + r $ 的圓。

6.2 當 $ \omega_p = -\omega_s $

如果公轉角速度和自轉角速度大小相等但方向相反$ \omega_p = -\omega_s $，則鉆尖的運動軌跡為：
$$x(t)=R\cos ({\omega }_{p}t)+r\cos (?{\omega }_{p}t+?)$$
$$y(t)=R\sin ({\omega }_{p}t)+r\sin (?{\omega }_{p}t+?)$$
此時，鉆尖的運動軌跡是一個半徑為 $ |R - r| $ 的圓。

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7. 多邊形孔的邊數

多邊形孔的邊數 $n $ 由自轉角速度$ \omega_s $ 和公轉角速度 $ \omega_p $ 的比值決定：
$$n=\frac{{\omega }_s}{{\omega }_p}$$
例如：

• 如果 $ \omega_s = 2 \omega_p $，則 $ n = 2$，形成二邊形（即直線）。
• 如果 $\omega_s = 3 \omega_p $，則 $ n = 3 $，形成三角形。
• 如果 $ \omega_s = 4 \omega_p $，則$ n = 4 $，形成四邊形。

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8. 總結

鉆尖的運動軌跡由公轉和自轉的疊加決定，其參數方程為：
$$x(t)=R\cos ({\omega }_{p}t)+r\cos ({\omega }_{s}t+?)$$
$$y(t)=R\sin ({\omega }_{p}t)+r\sin ({\omega }_{s}t+?)$$
當 $ \omega_p $ 和 $ \omega_s $的比值為有理數時，鉆尖的運動軌跡是閉合的，形成多邊形孔。多邊形孔的邊數$ n$ 由$\omega_s / \omega_p $ 決定。通過調整$ \omega_p $ 和 $\omega_s $ 的比值，可以控制鉆孔的形狀和邊數。

這個模型為鉆頭運動軌跡的分析和優化提供了理論基礎。

為了基于 Python 求解這個模型，我們可以編寫一個程序來計算鉆尖的運動軌跡，并繪制其運動軌跡圖。以下是詳細的步驟和代碼實現：

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導入必要的庫

我們需要使用 numpy 進行數學計算，使用 matplotlib 進行繪圖。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

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定義參數

定義鉆頭的公轉半徑 $ R $、自轉半徑$ r $、公轉角速度 $ \omega_p $、自轉角速度 $ \omega_s$、初始相位角 $ \phi $ 以及時間范圍。

# 定義參數
R = 5.0  # 公轉半徑
r = 1.0  # 自轉半徑
omega_p = 2.0  # 公轉角速度 (rad/s)
omega_s = 3.0  # 自轉角速度 (rad/s)
phi = 0.0  # 初始相位角
t_max = 10.0  # 最大時間
num_points = 1000  # 時間點數

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計算鉆尖的運動軌跡

根據運動方程，計算鉆尖的位置 $ (x(t), y(t)) $。

# 生成時間數組
t = np.linspace(0, t_max, num_points)# 計算鉆尖的位置
x = R * np.cos(omega_p * t) + r * np.cos(omega_s * t + phi)
y = R * np.sin(omega_p * t) + r * np.sin(omega_s * t + phi)

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繪制鉆尖的運動軌跡

使用 matplotlib 繪制鉆尖的運動軌跡。

# 繪制鉆尖的運動軌跡
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y, label="Drill Tip Trajectory", color="blue")
plt.scatter(x[0], y[0], color="red", label="Start Point")  # 起點
plt.scatter(x[-1], y[-1], color="green", label="End Point")  # 終點
plt.title("Drill Tip Trajectory (R={}, r={}, ωp={}, ωs={})".format(R, r, omega_p, omega_s))
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axis("equal")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

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完整代碼

以下是完整的 Python 代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定義參數
R = 5.0  # 公轉半徑
r = 1.0  # 自轉半徑
omega_p = 2.0  # 公轉角速度 (rad/s)
omega_s = 3.0  # 自轉角速度 (rad/s)
phi = 0.0  # 初始相位角
t_max = 10.0  # 最大時間
num_points = 1000  # 時間點數# 生成時間數組
t = np.linspace(0, t_max, num_points)# 計算鉆尖的位置
x = R * np.cos(omega_p * t) + r * np.cos(omega_s * t + phi)
y = R * np.sin(omega_p * t) + r * np.sin(omega_s * t + phi)# 繪制鉆尖的運動軌跡
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y, label="Drill Tip Trajectory", color="blue")
plt.scatter(x[0], y[0], color="red", label="Start Point")  # 起點
plt.scatter(x[-1], y[-1], color="green", label="End Point")  # 終點
plt.title("Drill Tip Trajectory (R={}, r={}, ωp={}, ωs={})".format(R, r, omega_p, omega_s))
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axis("equal")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

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運行結果

運行上述代碼后，程序會繪制鉆尖的運動軌跡圖。根據參數 $ R $、$ r $、$ \omega_p $ 和 $ \omega_s $ 的不同，軌跡可能是圓形、多邊形或其他復雜形狀。

示例結果：

• 如果 $ \omega_p = 2 $ 和 $ \omega_s = 3 $，軌跡可能是一個五邊形。
• 如果 $\omega_p = 1 $ 和 $ \omega_s = 1 $，軌跡是一個半徑為 $ R + r $ 的圓。

• 如果 $\omega_p = 1 $ 和 $\omega_s = -1 $，軌跡是一個半徑為 $ |R - r| $的圓。

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參數調整

可以通過調整以下參數來觀察不同的運動軌跡：

• 公轉半徑 $ R $和自轉半徑$ r $。
• 公轉角速度 $ \omega_p $ 和自轉角速度 $ \omega_s$。
• 初始相位角 $ \phi$。

例如：

R = 4.0
r = 2.0
omega_p = 1.0
omega_s = 4.0

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