要理解 “$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力分數”，核心是抓住注意力機制的本質目標 ——量化 “查詢（q）” 與 “鍵（k）” 之間的關聯程度，而向量點積（矩陣相乘的元素本質）恰好是實現這一目標的天然工具。下面分三步拆解：

一、注意力分數的核心使命：找 “查詢與鍵” 的關聯度

注意力機制的核心邏輯是 “按需聚焦”：比如閱讀時，我們會根據當前 “想找的信息（查詢 q）”，去關注文本中 “相關的內容（鍵 k）”。為實現這一邏輯，第一步必須先回答：“每個查詢與每個鍵的相關性有多高？”

這個 “相關性數值”，就是注意力分數。

例如：

• 若查詢 q 是 “貓的顏色”，鍵 k1 是 “黑色貓咪”、k2 是 “紅色汽車”，則 q 與 k1 的分數應高，與 k2 的分數應低；
• 若有多個查詢（如 “貓的顏色”“狗的大小”）和多個鍵，則需要一個 “查詢 - 鍵關聯表”，記錄所有查詢對所有鍵的相關性 —— 這正是 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 矩陣的作用。

二、向量點積：天然的 “關聯度度量工具”

$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 矩陣中，每個元素的本質是 “單個查詢向量 **** **** 與單個鍵向量 **** **** 的點積”（即 ${\mathbf{q}}_i?{\mathbf{k}}_j$），而點積的幾何意義恰好能量化 “關聯度”。

回顧向量點積的數學定義與幾何意義：

對兩個維度為 $d_k$ 的向量 ${\mathbf{q}}_i$ 和 ${\mathbf{k}}_j$，點積公式為：

${\mathbf{q}}_i?{\mathbf{k}}_j={\sum }_{t=1}^{d_k}{q}_{i,t}\times k_{j,t}$

其幾何等價形式為：

${\mathbf{q}}_i?{\mathbf{k}}_j=\Vert {\mathbf{q}}_i\Vert \times \Vert {\mathbf{k}}_j\Vert \times \cos \theta$

其中：

• $\Vert {\mathbf{q}}_i\Vert$、$\Vert {\mathbf{k}}_j\Vert$ 是向量的模長（可理解為向量的 “信息量大小”）；
• $\theta$ 是 ${\mathbf{q}}_i$ 與 ${\mathbf{k}}_j$ 的夾角，$\cos \theta$ 是 “方向相似度”——$\theta$ 越小（方向越接近），$\cos \theta$ 越接近 1，點積越大；$\theta$ 越大（方向越背離），$\cos \theta$ 越接近 - 1，點積越小。

這恰好完美匹配 “關聯度” 的需求：

• 當查詢 q 與鍵 k “方向相似”（比如 q 是 “貓”，k 是 “貓咪”），$\cos \theta$ 大，點積大→注意力分數高，說明兩者相關；
• 當查詢 q 與鍵 k “方向無關”（比如 q 是 “貓”，k 是 “汽車”），$\cos \theta$ 接近 0，點積小→注意力分數低，說明兩者無關。

此外，點積還有一個關鍵優勢：計算高效。相比歐氏距離（衡量 “差異”，需開平方）等其他度量方式，點積僅需加法和乘法，適合深度學習中大規模矩陣運算（這也是 Transformer 選擇點積作為分數度量的重要工程原因）。

三、$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$：批量計算所有 “查詢 - 鍵” 的關聯度

前面講的是 “單個查詢 vs 單個鍵” 的情況，而實際模型中，我們通常有多個查詢（m 個）和多個鍵（n 個），需要一次性計算 “所有查詢對所有鍵的分數”—— 這就需要通過矩陣相乘 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 實現，其維度變化和元素含義如下：

1. 明確向量 / 矩陣維度（結合文檔假設）

• 單個查詢向量 ${\mathbf{q}}_i$：維度為 $d_k$（如文檔中 $d_k=64$），即形狀為 $(1,d_k)$；
• 多個查詢組成的矩陣 $\mathbf{Q}$：包含 $m$ 個查詢，形狀為 $(m,d_k)$（每行是一個查詢）；
• 單個鍵向量 ${\mathbf{k}}_j$：維度同樣為 $d_k$，形狀為 $(1,d_k)$；
• 多個鍵組成的矩陣 $\mathbf{K}$：包含 $n$ 個鍵，形狀為 $(n,d_k)$（每行是一個鍵）；
• 鍵矩陣的轉置 ${\mathbf{K}}^T$：將 $\mathbf{K}$ 的行與列交換，形狀變為 $(d_k,n)$（每列是一個鍵）。

2. 矩陣相乘的物理含義：生成 “注意力分數矩陣”

根據矩陣相乘的規則（前矩陣列數 = 后矩陣行數才能相乘），$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$ 的計算過程如下：

• 輸入維度：$\mathbf{Q}(m,d_k)\times {\mathbf{K}}^T(d_k,n)$；
• 輸出維度：$(m,n)$（前矩陣行數 × 后矩陣列數）；
• 輸出矩陣的每個元素 $(i,j)$：第 $i$ 個查詢向量 ${\mathbf{q}}_i$ 與第 $j$ 個鍵向量 ${\mathbf{k}}_j$ 的點積（即 ${\mathbf{q}}_i?{\mathbf{k}}_j$）。

這個 $(m,n)$ 的輸出矩陣，就是注意力分數矩陣—— 它本質是一張 “查詢 - 鍵關聯表”：

• 行：對應每個查詢（共 $m$ 行）；
• 列：對應每個鍵（共 $n$ 列）；
• 元素 $(i,j)$：第 $i$ 個查詢對第 $j$ 個鍵的 “關聯度分數”。

3. 與文檔邏輯的呼應：分數矩陣的后續處理

需要注意的是，$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$ 得到的是 “原始注意力分數”，正如文檔中強調的，由于點積的方差會隨 $d_k$ 增長（$\text{Var}({\mathbf{q}}_i?{\mathbf{k}}_j)=d_k$），原始分數會出現數值極端化問題。因此，后續必須除以 $\sqrt{d_k}$ 進行方差歸一化（將方差固定為 1），再通過 softmax 轉化為 “注意力權重”（表示每個鍵對查詢的貢獻占比）—— 這也印證了文檔中 “縮放點積注意力” 的完整流程：

$\text{Attention}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})=\text{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T}{\sqrt{d_k}}\right)\times \mathbf{V}$

其中 $\mathbf{V}$（值向量）是最終要 “聚焦” 的內容，而 $\frac{\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T}{\sqrt{d_k}}$ 正是歸一化后的注意力分數矩陣。

四、舉個具體例子：讓抽象矩陣變直觀

假設：

• 查詢數量 $m=2$（比如查詢 1：“貓的顏色”，查詢 2：“狗的大小”）；
• 鍵數量 $n=3$（比如鍵 1：“黑色貓咪”，鍵 2：“棕色小狗”，鍵 3：“紅色汽車”）；
• 維度 $d_k=2$（簡化計算，實際為 64）。

1. 設定具體向量（符合文檔初始化：均值 0、方差 1）

• 查詢矩陣 $\mathbf{Q}$（2×2）：

  $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.2\\ 0.1& 0.9\end{array}\right]$

  （第 1 行：查詢 1 “貓的顏色”，第 2 行：查詢 2 “狗的大小”）

• 鍵矩陣 $\mathbf{K}$（3×2）：

  $\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.2& 0.8\\ 0.4& ?0.5\end{array}\right]$

  （第 1 行：鍵 1 “黑色貓咪”，第 2 行：鍵 2 “棕色小狗”，第 3 行：鍵 3 “紅色汽車”）

• 鍵轉置 ${\mathbf{K}}^T$（2×3）：

  ${\mathbf{K}}^T=\left[\begin{array}{ccc}0.7& 0.2& 0.4\\ 0.3& 0.8& ?0.5\end{array}\right]$

2. 計算 $\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$（原始注意力分數矩陣）

根據矩陣相乘規則：

• 元素 $(1,1)$（查詢 1× 鍵 1）：$0.8\times 0.7+0.2\times 0.3=0.56+0.06=0.62$（分數高，關聯強）；
• 元素 $(1,2)$（查詢 1× 鍵 2）：$0.8\times 0.2+0.2\times 0.8=0.16+0.16=0.32$（分數中，關聯弱）；
• 元素 $(1,3)$（查詢 1× 鍵 3）：$0.8\times 0.4+0.2\times (?0.5)=0.32?0.1=0.22$（分數低，關聯弱）；
• 元素 $(2,1)$（查詢 2× 鍵 1）：$0.1\times 0.7+0.9\times 0.3=0.07+0.27=0.34$（分數中，關聯弱）；
• 元素 $(2,2)$（查詢 2× 鍵 2）：$0.1\times 0.2+0.9\times 0.8=0.02+0.72=0.74$（分數高，關聯強）；
• 元素 $(2,3)$（查詢 2× 鍵 3）：$0.1\times 0.4+0.9\times (?0.5)=0.04?0.45=?0.41$（分數低，關聯弱）。

最終原始分數矩陣為：

$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T=\left[\begin{array}{ccc}0.62& 0.32& 0.22\\ 0.34& 0.74& ?0.41\end{array}\right]$

這個矩陣完全符合預期：

• 查詢 1（貓的顏色）對鍵 1（黑色貓咪）分數最高，對鍵 3（紅色汽車）分數最低；

• 查詢 2（狗的大小）對鍵 2（棕色小狗）分數最高，對鍵 3（紅色汽車）分數最低。

  后續只需除以 $\sqrt{d_k}=\sqrt{2}\approx 1.414$ 歸一化，再經 softmax 就能得到合理的注意力權重。

總結：$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力分數的本質原因

1. 目標匹配：注意力需要 “關聯度”，點積的幾何意義（方向相似度 + 信息量）恰好量化了關聯度；
2. 運算高效：點積計算簡單，適合大規模矩陣運算；
3. 批量輸出：$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 能一次性生成 “所有查詢對所有鍵” 的關聯度，形成結構化的分數矩陣；
4. 銜接后續流程：原始分數矩陣需經文檔中提到的 “除以 $\sqrt{d_k}$ 歸一化” 和 “softmax 權重轉化”，最終實現 “按需聚焦”—— 這也說明 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力機制的核心 “分數來源”。