試題 A: 握手問題 題解

題目描述

小藍組織了一場算法交流會議，共有50人參加。按照慣例，每個人都要與除自己外的其他所有人握手一次。但有7個人彼此之間沒有握手（這7人與其他43人正常握手）。求實際發生的握手總次數。

解題思路

常規握手問題模型

對于 n人 參與的會議，握手總次數可以用組合數公式計算：
$$C(n,2)=\frac{n(n?1)}{2}$$
因為每兩人之間僅握手一次，共有 $\frac{n(n?1)}{2}$ 種組合。

本題特殊情況

存在 7人 彼此之間不握手，這意味著我們需要從總握手次數中扣除這7人之間的理論握手次數。即：

1. 計算50人全握手的總次數
   $$C(50,2)=\frac{50\times 49}{2}=1225$$

2. 計算7人之間的理論握手次數
   $$C(7,2)=\frac{7\times 6}{2}=21$$

3. 實際握手次數
   實際握手次數等于總次數扣除未發生的7人握手次數：
   $$1225?21=1204$$

關鍵點分析

• 組合數應用：本題核心在于正確應用組合數公式建立數學模型。
• 特殊條件處理：正確處理7人組內部握手缺失的情況，避免重復計算或漏算。
• 數值計算：注意大數運算時的準確性，避免計算錯誤。

代碼驗證（C++）

#include <iostream>int main() {// 計算50人的總握手次數int total = 50 * 49 / 2;// 計算7人未發生的握手次數int exclude = 7 * 6 / 2;// 輸出實際握手次數std::cout << total - exclude << std::endl;return 0;
}