上一節：【高等數學】第十一章 曲線積分與曲面積分——第二節 對坐標的曲線積分
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1. 格林公式

• 單連通與復連通區域
  設 $D$ 為平面區域，若 $D$ 內任一閉曲線所圍的部分都屬于 $D$，則稱 $D$ 為平面單連通區域，否則稱為復連通區域。
  通俗地說，平面單連通區域就是不含有“洞”（包括點“洞”）的區域，復連通區域是含有“洞”（包括點“洞”）的區域。
• 邊界曲線的正向
  規定邊界曲線 $L$ 的正向如下：
  當觀察者沿 $L$ 的這個方向行走時，$D$ 內在他近處的那一部分總在他的左邊。
• 格林公式
  設閉區域$D$由分段光滑的曲線$L$圍成，若函數$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一階連續偏導數，
  則有$$\underset{D}{?}\left(\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y,$$其中$L$是$D$的取正向的邊界曲線。

  假設閉區域$D$既是$X$型又是$Y$型區域
  ?D?P?xdxdy=∫ab{∫φ2(x)φ1(x)?P?ydy}dx=∫ab{P[x,φ1(x)]?P[x,φ2(x)]}dx=∫L1Pdx?∫L2Pdx=?∮LPdx\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{a}^{b} \left\{ \int_{\varphi_{2}(x)}^{\varphi_{1}(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{d}y \right\} \mathrm{d}x\\&= \int_{a}^{b} \left\{ P[x,\varphi_{1}(x)] - P[x,\varphi_{2}(x)] \right\} \mathrm{d}x\\&=\int_{L_1}P\mathrm{d}x-\int_{L_2}P\mathrm{d}x=-\oint_L P\mathrm{d}x\end{aligned}D???x?P?dxdy?=∫ab?{∫φ2?(x)φ1?(x)??y?P?dy}dx=∫ab?{P[x,φ1?(x)]?P[x,φ2?(x)]}dx=∫L1??Pdx?∫L2??Pdx=?∮L?Pdx?
  ?D?Q?ydxdy=∫cd{∫ψ2(y)ψ1(y)?Q?xdx}dy=∫cd{Q[ψ1(y),y]?Q[ψ2(y),y]}dy=∫L1′Qdx+∫L2′Qdx=∮LQdy\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{c}^{d} \left\{ \int_{\psi_{2}(y)}^{\psi_{1}(y)} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{d}x \right\} \mathrm{d}y\\&= \int_{c}^{d} \left\{ Q[\psi_1(y),y] - Q[\psi_2(y),y]\right\} \mathrm{d}y\\&=\int_{L'_1}Q\mathrm{d}x+\int_{L'_2}Q\mathrm{d}x=\oint_L Q\mathrm{d}y\end{aligned}D???y?Q?dxdy?=∫cd?{∫ψ2?(y)ψ1?(y)??x?Q?dx}dy=∫cd?{Q[ψ1?(y),y]?Q[ψ2?(y),y]}dy=∫L1′??Qdx+∫L2′??Qdx=∮L?Qdy?
  一般的情形可以通過用輔助曲線切割的方式，滿足格林公式的條件，曲線積分會相互抵消

• 特例
  $$\begin{array}{rl}2\underset{D}{?}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\oint }_{L}x\mathrm{d}y?y\mathrm{d}x\\ & ={\oint }_L\left|\begin{array}{cc}x& y\\ \mathrm{d}x& \mathrm{d}y\end{array}\right|\end{array}$$左端表達的是閉區域$D$面積的兩倍，
  右端表達的是從原點到邊界點的向量與邊界曲線切向量叉積的積分（叉積能表達以向量為邊的平行四邊形的面積），它度量了邊界曲線相對于原點的“旋轉”或“掃過”的面積。
  橢圓的參數方程$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}$$橢圓的面積為$$A=\frac{1}{2}{\oint }_{L}x\mathrm{d}y?y\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }ab\mathrm{d}\theta =\pi ab$$
• 無重（chong）點曲線
  對于連續曲線 $L:x=\phi (t),y=\psi (t),\alpha \le t\le \beta$，
  如果除了 $t=\alpha ,t=\beta$ 外，當 $t_1\ne t_2$ 時，$(\phi (t_1),\psi (t_1))$ 與 $(\phi (t_2),\psi (t_2))$ 總是相異的，那么稱 $L$ 是無重點的曲線。
  邊界曲線有重點會導致無法判定曲線的正向。
  對于有重點的曲線，處理辦法應該是分解為多個簡單閉曲線。

2. 平面上曲線積分與路徑無關的條件

• 曲線積分與路徑無關
  設 $G$ 是一個區域，$P(x,y)$ 以及 $Q(x,y)$ 在區域 $G$ 內具有一階連續偏導數。
  如果對于 $G$ 內任意指定的兩個點 $A$、$B$ 以及 $G$ 內從點 $A$ 到點 $B$ 的任意兩條曲線 $L_1$、$L_2$，等式$${\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{L_2}\mathrm{d}yP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$恒成立，就說曲線積分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$內與路徑無關，否則便說與路徑有關。
• 曲線積分與路徑無關的充要條件
  設區域$G$是一個單連通域，函數$P(x,y)$與$Q(x,y)$在$G$內具有一階連續偏導數，則曲線積分${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$內與路徑無關（或沿$G$內任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是$$\frac{?P}{?y}=\frac{?Q}{?x}$$在$G$內恒成立。

  $\underset{D}{?}\left(\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$

• 奇點
  破壞函數$P$及$Q$及$\frac{?Q}{?x}$，$\frac{?P}{?y}$連續性條件的點通常稱為奇點。
  在有奇點的情況下，曲線積分與路徑無關不能保證成立

3. 二元函數的全微分求積

• 二元函數的全微分求積問題
  • 函數 $P(x,y)$ 與 $Q(x,y)$ 滿足什么條件時，表達式 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 才是某個二元函數 $u(x,y)$ 的全微分
  • 當這樣的二元函數存在時把它求出來。
• 全微分求積的充要條件
  設區域$G$是一個單連通域，若函數$P(x,y)$與$Q(x,y)$在$G$內具有有一階連續偏導數，則$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$在$G$內為某一函數$u(x,y)$的全微分的充分必要條件是$$\frac{?P}{?y}=\frac{?Q}{?x}$$在$G$內恒成立，從而曲線積分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$內與路徑無關。

  $\frac{{?}^{2}u}{?x?y}=\frac{?P}{?y},\frac{{?}^{2}u}{?y?x}=\frac{?Q}{?x}$
  $u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(s,t)\mathrm{d}s+Q(s,t)\mathrm{d}t$，起點固定，曲線積分的值取決于終點的位置
  $\frac{?u}{?x}=P(x,y),\frac{?u}{?y}=Q(x,y)$

• 二元函數的全微分求積
  為計算簡便起見，可以選擇平行于坐標軸的直線段連成的折線作為積分路線，當然要假定這些折線完全位于$G$內。$$\begin{array}{r}u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y\\ ={\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\mathrm{d}y+{\int }_{x_0}^{x}P(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$
• 全微分方程
  一個微分方程寫成$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$的形式后，如果它的左端恰好是某一個函數 $u(x,y)$ 的全微分：$$\mathrm{d}u(x,y)=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$那么該方程就叫做全微分方程。
  隱式通解為$u(x,y)=C$。
  當$P(x,y)$與$Q(x,y)$在連通域$G$內具有一階連續偏導數時，一階微分方程成為全微分方程的充分必要條件條件是$$\frac{?P}{?y}=\frac{?Q}{?x}$$在區域$G$內恒成立，且全微分方程的通解為$$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=C,$$其中$x_0$與$y_0$是在區域$G$內適當選定的點$M_0$的坐標。
  此外還可以利用$\frac{?P}{?y}=\frac{?Q}{?x}$條件和待定函數法求全微分方程的隱式通解。

4. 曲線積分的基本定理

• 保守場
  若曲線積分${\int }_L\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{r}$在區域$G$內與積分路徑無關，則稱向量場$\mathbf{F}$為保守場。
• 曲線積分的基本定理
  設 $\mathbf{F}(x,y)=P(x)\mathbf{i}+Q(x)\mathbf{j}$ 是平面區域 $G$ 內的一個向量場，$P(x,y)$ 與 $Q(x,y)$ 都在 $G$ 內連續，且存在一個數量函數 $f(x,y)$，使得 $\mathbf{F}=?f$，
  則曲線積分 ${\int }_L\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{r}$ 在 $G$ 內與路徑無關，且$${\int }_L\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{r}=f(B)?f(A),$$其中 $L$ 是位于 $G$ 內起點為 $A$、終點為 $B$ 的任一分段光滑曲線。

  $\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y=?f?(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{r}$

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