參考教程一

3分鐘幫你搞定兩類曲線積分之間的聯系（弧長和坐標）

兩類曲線積分的聯系

設平面曲線$L$上的第二類曲線積分${\int }_{L}Pdx+Qdy$，與第一類曲線積分存在如下聯系：

利用弧長元素 $ds$與坐標微分的關系$dx=\cos \alpha ?ds$，$dy=\cos \beta ?ds$（$\alpha$, $\beta$) 為曲線切線與 ( x, y ) 軸夾角 ），則：
$cos\alpha ?ds$可以看成s在x軸方向的投影，所以等于$dx$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}Pdx+Qdy& ={\int }_{L}P\cos \alpha ?ds+Q\cos \beta ?ds\\ & ={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds\end{array}$$

（體現“第二類曲線積分（按坐標積分 ）”與“第一類曲線積分（按弧長積分 ）”通過切線方向余弦建立轉換關系，是曲線積分理論的核心聯系公式 。）

參數方程曲線的切線方向余弦

設平面曲線的參數方程為：

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$

曲線切線與$x$ 軸、$y$ 軸夾角的方向余弦為：

$$\cos \alpha =\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}},\cos \beta =\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}}$$

（其中$alpha$是切線與$x$ 軸正向夾角，$\beta$ 是切線與$y$ 軸正向夾角；分母是參數方程導數的模長，體現“切線方向向量 $({\phi }^{\prime }(t)$ , ${\psi }^{\prime }(t))$ 單位化”的邏輯，是兩類曲線積分聯系公式的基礎 。）

參考教程2

如何理解“兩類曲線積分之間的關系”？

兩類曲線積分之間的關系

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}Pdx+Qdy& ={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds\end{array}$$

物理意義解釋

第二型曲線積分的物理意義，遍歷沿曲線做功，假設質點在A處，沿著曲線AB的方向，運動到B點，然后在運動過程中每時每刻受大小方向都在變的力F的作用，求整個F在這個過程中所作的功。

證明思路

**算兩次：**把同一個量，按照兩種不同的方式算一遍

1. 把$F$分解成水平方向的分力$P$和豎直方向的分力$Q$，算F做的功。
   

功 $W$ 可表示為第二類曲線積分：

$$W={\int }_{L}Pdx+Qdy$$

（其中 $dx,dy$ 是曲線$L$ 上的坐標微分，體現“變力沿路徑做功 = 力的分量與位移分量乘積的積分”，是第二類曲線積分的經典物理應用場景 。）

2. 把力$F$投影到瞬時速度方向
   
   把P和Q 同時投影到L方向，過P做L的垂線，大小就是$P\cos \alpha$
   
   同理可以把Q投影到L方向上

$$W={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds$$

核心邏輯：
兩類積分通過“切線方向余弦 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 與坐標微分 $(dx,dy)$ 、弧長 $ds$ 的關系”實現轉換，體現“變力做功 = 力沿切線方向分量的線積分”，是曲線積分物理意義的完整表達 。

用兩種方式計算同一個量，所以推出上面的關系。