【深度學習與實戰】3.1 邏輯回歸模型

邏輯回歸（Logistic Regression）是一種用于?二分類問題?的統計學習方法，通過?sigmoid函數?將線性回歸的輸出映射到[0,1]區間，表示樣本屬于某一類別的概率?。

$P(Y = 1 | X)=\frac{1}{1+e^{-z}},z=\beta_0 + \beta_1X_1 +\cdots +\beta_nX_n$ ?

? ? ? ? ? 其中 $z$ 為線性組合， $\beta$ 為模型參數?

? $\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ ?

? $\operatorname{l n} L(\beta) = \sum_{i=1}^{n}[y_i\operatorname{l n}p_i+(1-y_i)\operatorname{l n}(1-p_i)]$

? ? ? ? 其中? $p_i = P(Y =1|X^{(I)})$ .?

? $J(\beta) = -\frac{1}{N} \operatorname{l n}L(\beta)$

????????通過梯度下降法最小化損失?

?決策邊界?：線性超平面? $z=0$ ，即? $\beta_0 + \beta_1X_1 +\cdots +\beta_nX_n=0$ 。
?系數意義?：
- $e^{\beta_i}$ 表示特征? $X_i$ ??每增加1單位，?勝率（Odds）?的倍數變化?。
- 例如， $\beta_1=0.8$ ?時， $e^{0.8} \approx 2.23$ ，即? $X_1$ ??增加1單位，勝率提高至2.23倍?

?問題?：預測學生是否通過考試，特征為學習時間（小時）和出勤率（比例），模型已訓練，參數為：

$\beta_0 =-2,\beta_1=0.8,\beta_2=1.5$

?學生數據?：學習時間 $X_1=3$ 小時，出勤率 $X_2=0.9$ ，計算通過考試的概率。?

?步驟?：

$z=\beta_0 + \beta_1X_1 +\beta_2X_2=-2+0.8\times 3+1.5\times0.9=2+2.4+1.35=1.75$

???????????????? $P(Y = 1 | X)=\frac{1}{1+e^{-1.75}}\approx \frac{1}{1+0.173}\approx \frac{1}{1.173 }\approx0.852$

????????預測結果?：概率為85.2%，超過閾值0.5，預測為?通過考試?。

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