九 線性相關性， 向量空間的基，維數
- Ax=0 什么情況下無解(x不為零向量)
- 1. 向量組的線性無關性
- 2.向量組生成一個空間(S)
- 3. 向量空間的一組基：都滿足向量個數相同
- 4. 空間維數 = 基向量的個數
Ax=0 什么情況下無解(x不為零向量)
Ax=0無解，當且僅當，A矩陣通過消元后，轉化為單位矩陣，沒有自由變量。
A 的矩陣大小為 m ? n ，當 m < n , 可以轉換為 R 矩陣， A x = 0 有解，因為存在自由變量。秩最多為 m ，自由變量為 n ? m A的矩陣大小為 m*n，當 m<n,可以轉換為R矩陣，Ax=0有解，因為存在自由變量。秩最多為m，自由變量為 n-m A的矩陣大小為m?n，當m<n,可以轉換為R矩陣，Ax=0有解，因為存在自由變量。秩最多為m，自由變量為n?m
1. 向量組的線性無關性
記: 有一組向量， x 1 , x 2 , x 3 . . . x n ，當不存在 c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ≠ 0 時，則稱 x 1 , x 2 , x 3 . . . x n 是線性無關的。 有一組向量，x_1,x_2,x_3...x_n，當不存在 c_1x1+c_2x_2+...+c_nx_n\neq0時，則稱x_1,x_2,x_3...x_n是線性無關的。 有一組向量，x1?,x2?,x3?...xn?，當不存在c1?x1+c2?x2?+...+cn?xn?=0時，則稱x1?,x2?,x3?...xn?是線性無關的。
如果 v 1 , v 2 . . . v n 是矩陣 A 的列向量，如果向量組線性無關，那么 A x = 0 無解， A 的秩為 n 。 如果v_1,v_2...v_n是矩陣A的列向量，如果向量組線性無關，那么Ax=0無解，A的秩為n。 如果v1?,v2?...vn?是矩陣A的列向量，如果向量組線性無關，那么Ax=0無解，A的秩為n。
2.向量組生成一個空間(S)
等價于 空間包含向量組的線性組合 空間包含向量組的線性組合 空間包含向量組的線性組合
3. 向量空間的一組基：都滿足向量個數相同
那么 向量組有兩個性質， 1. 線性無關 2. 生成一整個空間 向量組有兩個性質，1. 線性無關 2. 生成一整個空間 向量組有兩個性質，1.線性無關2.生成一整個空間
R 3 R^3 R3的一組基
[ 1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] , [ 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} ?100? ?, ?010? ?, ?001? ?
當 A n ? n A_{n*n} An?n?可逆 ? \xRightarrow{} ? 滿秩 ? \xRightarrow{} ? n個向量是 R n R^n Rn的基
4. 空間維數 = 基向量的個數
例子
A = [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] A = \begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix} A= ?111?212?323?111? ?
A的基為
[ 1 2 1 1 1 2 ] \begin{bmatrix} 1&2\\ 1&1\\ 1&2\\ \end{bmatrix} ?111?212? ?
N ( A ) = c [ ? 1 ? 1 1 0 ] + d [ ? 1 0 0 1 ] N(A) = c\begin{bmatrix} -1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} N(A)=c ??1?110? ?+d ??1001? ?,求法詳見7.【線性代數】——求解Ax=0，主列和自由列
r a n k ( A ) = 主列數 = 空間的維數 C ( A ) = r rank(A) = 主列數 = 空間的維數 C(A) = r rank(A)=主列數=空間的維數C(A)=r
d i m ( N ( A ) ) = 自由列的列數 = n ? r dim(N(A)) = 自由列的列數 = n - r dim(N(A))=自由列的列數=n?r
