一、定義

1.1.比沖（Isp）：

比沖是衡量發動機性能的重要指標，反映了單位重量推進劑在發動機中產生的沖量，單位為米/秒（m/s），代表燃料燃燒時噴流速度。這個單位與速度單位“米/秒”相同，揭示了比沖的本質——燃料燃燒時的“噴流速度”。

在傳統單位中，“比沖秒”是根據比沖的定義——單位重量流量的推進劑產生的推力來計算的。盡管國家標準中已無“重量流量”這一名稱，但在習慣上，比沖的計算仍沿用這一傳統單位，即一公斤燃料在火箭發動機中能持續產生一公斤推力的時間（以秒為單位）。比沖的傳統單位為秒，與國際單位米/秒通過重力加速度g進行換算，以便更直觀地理解性能。具體來說，就是將“秒”乘以標準重力g，即9.80665米每平方秒，然后進行換算，即可得到“米每秒”的單位。

Isp=I/m

其中I為發動機產生的總沖量，m為燃燒的推進劑總質量；

總沖量I是發動機推力F與工作時間t的乘積。

1.2.真空推力：

推力F是排氣的動量給發動機的反作用力，單位是牛（N即）。

根據動量的計算公式，F×t=mv2-mv1，因此，F=（m/t）×Δv，也就是推力等于推進劑的排氣速度×質量流量；

1.3.速度增量：

齊奧爾科夫斯基火箭方程描述了火箭的速度增量與比沖及質量比之間的關系。

其中表示火箭的速度增量；Isp是比沖，此處單位為m/s；g0是標準重力加速度；ln為自然對數；m0是燃料消耗前的總質量；mf是燃料消耗后的質量。

1.4.總速度增量：

對于任一衛星攜帶推進劑的質量是確定的，所能提供的總速度增量即為確定的數值。

二、換算關系

2.1.比沖和速度增量之間的關系

以310s比沖和1000m/s速度增量為例：

1. 比沖（Isp）是效率的核心

   • 310s 的比沖意味著?發動機每消耗1kg推進劑可產生310×9.8≈3038 N·s 的沖量。

   • 比沖越高，產生相同ΔV所需的推進劑越少（效率越高）。

2. 實現 ΔV ≥1000m/s 的條件
   將 ΔV=1000m/s 和 Isp=310s 代入火箭方程：

解讀：

比沖直接影響推進劑需求：

• 航天器的初始質量（m?）需比最終質量（m?）多39%。

• 這多出的39%質量幾乎全部是推進劑（結構質量通常占10%~20%）。

• 推進劑質量占比?≈ (m? - m?)/m? = 0.39/1.39 ≈?28%。

• 若比沖降低至250s（如固體發動機），推進劑占比需升至40%（效率大幅降低）。

• 若比沖提升至450s（如氫氧發動機），推進劑占比僅需18%（效率顯著提高）。

2.2.速度增量和推力之間的關系

1.理論層面：ΔV與推力無關

火箭方程 ΔV = Isp × g? × ln(m?/m?)?中?不含推力（F）。
這意味著：

• 只要推進劑總量足夠，無論推力大小，理論上都能達到相同ΔV。

  • 例：電推進（比沖3000s）和化學推進（比沖300s）攜帶相同比例推進劑時，電推進的ΔV是化學推進的10倍（因Isp高10倍）。

• 推力不改變能量守恒：ΔV反映的是航天器動能變化，只取決于推進劑蘊含的化學/電能轉化為動能的效率（即比沖）和質量比。

2.現實層面：推力是ΔV實現的關鍵制約因素

• 雖然推力不影響ΔV的理論值，但它決定了達到該ΔV所需的時間和路徑：

? ? ? ?公式：達到ΔV所需時間?t ≈ ΔV × m / F（m：航天器平均質量，F：推力）

• 案例對比：實現1000m/s ΔV

  • 化學推進（推力10,000 N，質量1噸）：
    t ≈ 1000 × 1000 / 10,000 = 100秒（約1.7分鐘）

  • 電推進（推力0.1 N，質量1噸）：
    t ≈ 1000 × 1000 / 0.1 = 10,000,000秒（約115天）

2.3推力、速度增量和軌道變化之間的關系

• 速度增量（ΔV）的方向決定軌道變化類型，單純增加速度不一定抬高軌道。

• 推力大小不影響最終軌道，但決定變軌速度（時間效率）。

• 軌道高度取決于總機械能，而機械能由當前位置的速度和方向共同決定。

ΔV與軌道高度之間的關系：方向決定一切

軌道高度變化并非由速度大小單獨決定，而是取決于?ΔV的施加方向?和?當前速度與引力的夾角：

假設衛星在近地點（A點）沿速度方向加速：

• ΔV > 0?→ 衛星獲得額外動能

• 但引力勢能未立即變化（因位置未變）

• 根據能量守恒：新增動能將在遠離地球過程中轉化為勢能（萬有引力和向心力平衡）

• 結果：遠地點（B點）高度顯著抬升，形成橢圓軌道

三、結論

1.比沖影響的是推進劑的質量，比沖越大達到相同速度增量所消耗的推進劑越少；

2.推力影響的是速度增量變化時間，推力越大達到相同速度增量所需要的時間越小；