高斯信道下通信感知一體化的性能極限（劉凡）
文章目錄
- 背景
背景
通信和感知在硬件結構上相似，高效地利用資源，實現相互的增益；
感知是基于不同的任務，比如目標檢測（檢測概率，虛警概率），估計任務（從收到的信號中去估計有用的參數，均方誤差，CRB），識別（知道目標的語義信息，就是目標分類，識別準確率），這些感知指標基本都是可靠性指標，感知的結果難以量化成一個比特，所以我們不去討論感知的有效性。
考慮估計指標，估計參數， E { ( η ? η ^ ) ( η ? η ^ ) T } ? J ? 1 = { E [ ? 2 ln ? p ( Y , η ) ? η ? η T ] } ? 1 \mathbb{E}\Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\}\geqslant\mathbf{J}^{-1}=\Big\{\mathbb{E}\left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right]\Big\}^{-1} E{(η?η^?)(η?η^?)T}?J?1={E[?η?ηT?2lnp(Y,η)?]}?1，估計的參數是 η \eta η（比如距離、速度和角度等），比如發射一個信號打到一個目標上，返回的信號就攜帶了關于這個目標信息。信號記作 Y \mathbf{Y} Y，服從一定概率的隨機變量， η \eta η也是隨機變量（列向量），拿到 Y \mathbf{Y} Y對 η \eta η作估計，記作 η ^ \hat{\eta} η^?， 求MSE即 E { ( η ? η ^ ) ( η ? η ^ ) T } \mathbb{E}\Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} E{(η?η^?)(η?η^?)T}，統計里MSE有下界，下界就是CRB（CRB是感知的性能極限），CRB的PDF越尖，包含目標的信息就越多，它的逆就是誤差的bound（CRB的PDF多尖定義為Fisher Information，Fisher Information是聯合分布 p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)，為什么是聯合分布，這是一個貝葉斯的CRB），聯合分布 p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)對 η ) \mathbf{\eta}) η)求二階導取期望， [ ? 2 ln ? p ( Y , η ) ? η ? η T ] \left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right] [?η?ηT?2lnp(Y,η)?]叫Hessian矩陣（海森矩陣，Hessian矩陣求期望就是Fisher信息矩陣），海森矩陣求期望再取逆叫做CRB matrix，矩陣 { ( η ? η ^ ) ( η ? η ^ ) T } \Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} {(η?η^?)(η?η^?)T}在半正定意義上大于等于Hessian矩陣的逆，對 { ( η ? η ^ ) ( η ? η ^ ) T } \Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} {(η?η^?)(η?η^?)T}求跡tra，將所有誤差加起來，CRB一般是 { E [ ? 2 ln ? p ( Y , η ) ? η ? η T ] } ? 1 \Big\{\mathbb{E}\left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right]\Big\}^{-1} {E[?η?ηT?2lnp(Y,η)?]}?1求trace。
一般的CRB中 η \eta η是確定變量， p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)會變成似然函數(可以這樣理解，觀測數據和參數的聯合分布，當其中一個給定，為了使得PDF最大，去優化另外一個，都是優化似然函數)。
半正定 (positive semidefinite)矩陣表示一個對稱矩陣，其所有特征值都非負。
這意味著，對于任意非意 x \mathfrak{x} x,都有：
x T ( E { ( η ? η ^ ) ( η ? η ^ ) T } ? J ? 1 ( η ) ) x ≥ 0 \mathbf{x}^T\left(\mathbb{E}\Big\{(\eta-\hat{\eta})(\eta-\hat{\eta})^\mathrm{T}\Big\}-\mathbf{J}^{-1}(\eta)\Big)\mathbf{x}\geq0\right. xT(E{(η?η^?)(η?η^?)T}?J?1(η))x≥0
下面討論性能極限（通信人的傳統），研究一個新的通信系統第一步先搞清楚性能極限，兩個極限：速率和CRB，此時性能極限就不是一個點了，而是一個邊界，相當于2元的優化問題。速率和CRB如果同時達到最優（CRB最小，Rate達到最大，為Bound B矩形邊界，意味著通信和感知之間沒有任何矛盾），Bound A是Time sharing可以達到的界，最優的CRB在左下工作點概率是P1，最高的rate在右上工作點概率是P2，P1+P2=1，概率變化就可以得到Bound A直線，這條線叫做分時內界（time sharing inner bound），代表資源上通信和感知正交分配的情況（通信和感知沒有共享資源）。一個比較實際的折中就是Bound C，通信和感知有一部分資源是共享的。
如何分配通信和感知的資源：通信和感知有不同的評價指標，對資源的分配和調度就有不同的側重點。比如正交分配（在時間、頻譜或者波束上分配通信和感知，時分、頻分和空分）。另外是一體化波形，會得到Bound C，如何找到Bound C并且逼近。
找到這條界：ISAC信道分為3種，1）強耦合：通信的目標也是感知的目標；2）中度耦合：感知和通信分成兩條徑都被手機接受；3）弱耦合：通信和感知的兩個目標在物理上隔得很遠。三種耦合程度部分決定了邊界的形狀。
強耦合，抽象成兩個subspace，兩個subspace方向相同，朝一個方向打，通信和感知完全復用。中度耦合，復用就是各自的投影。弱耦合，兩個空間正交，不得不正交分配資源，資源沒辦法復用。
如果考慮一個簡單的beamforming問題，對于某個目標角度的CRB的優化，通信速率滿足一個門限和一個功率的約束。
向量高斯信道，MIMO或者OFDM信道。
感知接收機和發射機是否分開：
自發自收，一個通信用戶，一個或者多個Target，ISAC的發射機，感知接收機。
發和收分開，但是中間可以用光纖連接，接受合作。
Y c = H c X + Z c , Y s = H s ( η ) X + Z s \mathbf{Y}_\mathrm{c}=\mathbf{H}_\mathrm{c}\mathbf{X}+\mathbf{Z}_\mathrm{c},\mathbf{Y}_\mathrm{s}=\mathbf{H}_\mathrm{s}(\mathbf{\eta})\mathbf{X}+\mathbf{Z}_\mathrm{s} Yc?=Hc?X+Zc?,Ys?=Hs?(η)X+Zs?其中 Y c \mathbf{Y}_\mathrm{c} Yc?是通信接收信號， Y s \mathbf{Y}_\mathrm{s} Ys?是感知接收信號； X \mathbf{X} X是一個unified waveform，隨機變量（只有隨機信號才能攜帶信息）；樣本協方差矩陣，假設有N個天線，一個block的長度是T， X \mathbf{X} X就是一個N×T的矩陣（或者對應OFDM中N個OFDM符號，每個符號有T個子載波）， X \mathbf{X} X的共軛轉置/T就是樣本協方差矩陣；求期望就是統計協方差矩陣。
一些重要的假設：
雷達的感知，感知的目標不能發射信號；
ISAC信號 X \mathbf{X} X對于感知接收機是已知的，因為在自發自收和發和收分開兩種場景下，都是連接的。但是對通信接收機是未知的。
η \mathbf{\eta} η是IId，每T個symbol，iid地變化一次。
通信的channel， H c \mathbf{H}_\mathrm{c}
方法)
)
】)