自適應反步控制

1. 基本思想

基于傳統反步法，考慮了系統方程中以線性形式出現的未知參數。核心思想包括參數估計率和控制率。

考慮二階系統：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2+{\phi }_1^T(x_1)\theta \\ {\dot{x}}_2=u+{\phi }_2^T(x_1,x_2)\theta \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\theta$ 是未知的常數參數（列向量），${\phi }_1(x_1)$ 和 ${\phi }_2(x_1,x_2)$ 為已知的非線性函數。$u$ 是控制輸入，$x_r$ 是 $x_1$ 期望跟蹤到的軌跡。

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設計目標有二：確保閉環系統的所有狀態保持有界；讓 $x_1$ 漸進跟蹤到 $x_r$。

假設：參考軌跡 $x_r$ 及其導數有界并可預測；${\phi }_1(x_1)$ 和 ${\phi }_2(x_1,x_2)$ 是已知且連續可微的；參數不確定性是線性形式出現的。這些假設的目的是保證在設計自適應律時，Lyapunov 導函數可以被有效約束，并且更新率是可實現的。

如果參數 $\theta$ 已知，可以使用靜態積分分反步法設計虛擬控制率 ${\alpha }_1$，但此處的參數 $\theta$ 并非已知，所以需要設計合適的 $\theta$ 更新規則以保證閉環穩定。

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A. 第一步

定義跟蹤誤差
$$z_1=x_1?x_r\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$z_2=x_2?{\alpha }_1?{\dot{x}}_r\text{\hspace{1em}(3)}$$

$z_2$ 表示“實際 $x_2$ 與理想目標值 ${\alpha }_1+{\dot{x}}_r$ 之間的偏差”。

對(2)求導數，并將(1)、(3)帶入：
$${\dot{z}}_1={\dot{x}}_1?{\dot{x}}_r=x_2+{\phi }_1^T(x_1)\theta ?x_2+z_2+{\alpha }_1=z_2+{\alpha }_1+{\phi }_1^T\theta \text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\theta$ 是未知的，不能直接使用已知參數的反步法。設計 ${\hat{\theta }}_1$ 用以近似 $\theta$；同時設計一個參數更新率來在線調整 ${\hat{\theta }}_1$。

設計 Lyapunov 候選函數：
$$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{?1}{\tilde{\theta }}_1\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中 $\Gamma >0$ 是參數更新率的自適應增益矩陣，${\tilde{\theta }}_1=\theta ?{\hat{\theta }}_1$ 表示參數估計誤差。

對其求導：
$${\dot{V}}_1=z_1{\dot{z}}_1+{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{?1}{\dot{\tilde{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(6)}$$

將(4)帶入：
$${\dot{V}}_1=z_1(z_2+{\alpha }_1+{\phi }_1^T\theta )+{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{?1}{\dot{\tilde{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(7)}$$

展開：
$${\dot{V}}_1=z_1{z}_2+z_1{\alpha }_1+z_1{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1+z_1{\phi }_1^T{\tilde{\theta }}_1?{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{?1}{\dot{\hat{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(8)}$$

由于 ${\phi }_1^T\tilde{\theta }={\tilde{\theta }}_1^T{\phi }_1$，可得：
$${\dot{V}}_1=z_1{z}_2+z_1{\alpha }_1+z_1{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1+{\tilde{\theta }}_1^T({\phi }_1{z}_1?{\Gamma }^{?1}{\dot{\hat{\theta }}}_1)\text{\hspace{1em}(9)}$$

定義虛擬控制 ${\alpha }_1$ 和參數更新率：
$${\alpha }_1=?c_1{z}_1?{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1$$
$${\dot{\hat{\theta }}}_1=\Gamma {\phi }_1{z}_1\text{\hspace{1em}(10)}$$

帶入可得：
$${\dot{V}}_1=?c_1{z}_1^2+z_1{z}_2\text{\hspace{1em}(11)}$$

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B. 第二步

設計實際控制輸入 $u$，使 $z_2\to 0$。

由(3)可得：
$${\dot{z}}_2={\dot{x}}_2?{\dot{\alpha }}_1?{\ddot{x}}_r\text{\hspace{1em}(12)}$$

注意 ${\alpha }_1$ 實際上是 $x_1$、${\hat{\theta }}_1$、$x_r$ 的函數，故采用復合函數求導方式。

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選取新的 Lyapunov 函數：
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2\text{\hspace{1em}(14)}$$

求導：
$${\dot{V}}_2=?c_1{z}_1^2+z_2(z_1+{\dot{z}}_2)\text{\hspace{1em}(15)}$$

為消除未知參數項 $\theta$，設計：
$$u=?z_1?c_2{z}_2+\frac{?{\alpha }_1}{?x_1}{x}_2?{\left({\phi }_2?\frac{?{\alpha }_1}{?x_1}{\phi }_1\right)}^T{\hat{\theta }}_2+\frac{?{\alpha }_1}{?{\hat{\theta }}_1}\Gamma {\phi }_1{z}_1+\frac{?{\alpha }_1}{?x_r}{\dot{x}}_r+{\ddot{x}}_r\text{\hspace{1em}(18)}$$

此時(13)變為：
$${\dot{z}}_2=?z_1?c_2{z}_2+{\left({\phi }_2?\frac{?{\alpha }_1}{?x_1}{\phi }_1\right)}^T(\theta ?{\hat{\theta }}_2)\text{\hspace{1em}(19)}$$

定義新的 Lyapunov 函數：
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}_2^T{\Gamma }^{?1}{\tilde{\theta }}_2\text{\hspace{1em}(20)}$$

求導：
$${\dot{V}}_2=?c_1{z}_1^2?c_2{z}_2^2?{\tilde{\theta }}_2^T{\Gamma }^{?1}{\dot{\hat{\theta }}}_2+{\tilde{\theta }}_2^T\left({\phi }_2?\frac{?{\alpha }_1}{?x_1}{\phi }_1\right)z_2\text{\hspace{1em}(21)}$$

令：
$${\dot{\hat{\theta }}}_2=\Gamma \left({\phi }_2?\frac{?{\alpha }_1}{?x_1}{\phi }_1\right)z_2\text{\hspace{1em}(22)}$$

最終得到：
$${\dot{V}}_2=?c_1{z}_1^2?c_2{z}_2^2\text{\hspace{1em}(23)}$$

可保證系統全局漸近穩定。