知識結構總覽

首先是我們的二次型的定義，就是說什么樣的才算是一個二次型。然后就是如何把二次型化為標準型，最后就是正定二次型的定義和判斷的一些條件。

二次型的定義

二次型其實是一種函數表達的方式，如上，含義其實就是每個項都是二次的，不存在更高和更低次的項。

考研只研究a是實數的情況，所以我們也可以說我們這里的二次型是實二次型。

在我們的線性代數中，所有的函數都可以把它表示成矩陣的形式。那我們把這里的f用矩陣表示就是：

我們可以看到，其實一個二次型，最核心的就是里面的A，因為對所有的同型的二次型來說，他們的不同點就是A，所以這個A就是靈魂所在，我們說研究一個二次型的表達式f，其實就是在研究這里面的A。A 的秩就是f的秩。

另外，我們對這里的A有特殊的規定，我們規定了二次型的矩陣A必須是對稱矩陣。并且對于我們的A中元素的計算也有特別的規定：

主對角線上就是平方前的系數（??前的系數），其他位置則為對應位置的一半（比如這里的第一行第二列（對應的??）前面的系數就是-1（為-2的一半））

由于我們這里的A是對稱矩陣，所以就有很多很好的性質可以用（參見上一章的最后一節）。這里就不多贅述了。

矩陣合同

線性變換的定義

簡單來說其實就是x=Cy，但是之前我們說過，我們的二次型都是研究中間的那個系數矩陣（就是A），所以對于我們的線性變換而言，我們研究的也應該是中間的那個系數矩陣，也就是B。、

那么我們的A和B之間的關系應該就是我們線性變換的核心。

矩陣合同的定義合并性質

可以看到如果兩個矩陣是合同的，那也就說明這兩個矩陣是等價的，因為我們乘的是一個可逆矩陣。

標準形和規范形

在我們的二次型這章如何把一個一般的二次型化為標準形是我們的重要考點。

兩個化標準形的方向

注意這兩者的不同和相同點，首先是目標，我們都是希望找到一種線性變換讓我們的二次型化為標準形，第一種的配方法找到的C雖然是可逆矩陣，但是和第二種的區別就在于第二種的C是正交矩陣，那么正交矩陣的性質和附帶的內容是我們的第一種所沒有的。

這兩個方法的具體內容我們會在后面的小節中展開，大家稍安勿躁。

慣性定理

那么我們所謂的合同化為標準型形，既然我們的標準形并不是唯一的，我們之前說過相似和等價，他們都有自己不變的東西，那么請問我們的合同這個變換里不變的是什么呢？

簡單來說就是合同的兩個矩陣具有的特征值的正的個數和負的個數相同。請注意我們這里說的是正和負的個數都相同，而且是不包含0的。這里面正的個數我們稱為正慣性指數，負的個數我們稱為負慣性指數。

小結

例題（配方法）

對于我們的配方法，我們的步驟是先找含有x1的，然后先配含有x1的部分，把x1配完，再找含x2的部分配完x2依次類推。

含有平方項

注意一點，使用配方法的時候一定要保證變量的個數不變，比如我們這題配方完之后就兩個平方項，那么我們就要手動加上一個0*x3來保證變量的個數。

還有一點就是注意看我們這里的兩個平方項，按照我們的步驟來的話，第一個平方里含有x1那么第二個平方必沒有x2，因為我們的x1已經被我們配完了。所以這里要注意的是我們的配方不僅是要配成平方，其次還是有順序的。那么如果有一個題目中他給你的是一個平方形式，我們也不要頭腦一熱以為這是給你配好的式子，我們還要看是不是按照順序的（比如若第二個平方或者第三個平方里面包含了x1，那么這個就不是我們所說的配方法配成的標準形）

不含平方項

不含平方項我們就創造平方項然后按照我們之前的思路解題。

小結：

例題（正交變換法）

其實就是我們上一章最后講的東西，所以這個方法有很多的性質。比如說求出來的答案中其標準形前面的系數就是特征值。Q是個正交矩陣，里面的就是由特征向量正交化（相同特征值正交化）單位化之后拼成的。

因為我們使用正交變換法之后的標準形有很多性質，所以呢題目也可能針對這些性質出題，比如說：

例題（其他一些知識點的考察）

看下這道題，首先我們只學過如何將一般形用線性變換變成一個標準形，沒有學過這種把一般形變成一般形的。但是我們可不可以做呢？現在我們試一下。

首先是第一問，問的是a和b的值。a和b分別是A和B中的一個未知數，由于B是由A正交變換得到的，那么其實A和B也是相似的，既然相似，那么有很多性質我們就都可以用了。

第二問，我們只學過怎么把一個一般形的正交變換成標準形的，沒學過其他的。注意我們考試是不會考超綱的題的，題目考察的一定是我們學過的知識點。對于我們沒有頭緒的同學可以嘗試著把這兩個都化成標準形。化完之后我們發現他倆是一樣的。也就是說這兩個最后的結果是一樣的。也就是說第二個其實是第一個的中間狀態，知道這個我們后面的解題也就水到渠成了。

還有一些題目考察我們合同中那個不變的性質以及我們的基本定義，還可以用來“套殼”考察我們前面的知識點。

正定二次型及其判別

定義

注意必須是大于零（不能等于0），另外我們的正定是在二次型里面的，所以我們的正定矩陣也必須是對稱矩陣。

條件

同樣的，基本的考察就兩個，一個是如何利用條件來判斷正定，第二個也可以利用定義來判斷正定。

例題

這幾個方法大家都要過一遍，代表了我們基本的全部考法。