? 問題一：為什么不同進制之間會有特定的映射關系？

? 問題二：為什么八進制和十六進制可以被看作是二進制的簡化形式？

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🔍 一、為什么不同進制之間有特定的映射關系？

這是因為 所有進制本質上只是表示數的不同方式，它們都代表相同的數值，只是寫法不同。

📌 舉例說明：

比如數字 10（十進制），它表示的是：

• 二進制：1010
• 八進制：12
• 十六進制：A

它們雖然寫法不同，但都表示同一個數量。

🧠 數學原理：

每種進制的每一位都有一個“權值”，這個權值是 基數的冪次。例如：

進制	表示方式	權值展開式	數值
十進制	10	$1\times 10^1+0\times 10^0$	10
二進制	1010	$1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0$	8 + 0 + 2 + 0 = 10
八進制	12	$1\times 8^1+2\times 8^0$	8 + 2 = 10
十六進制	A	$10\times 16^0$	10

所以，映射關系的本質是：不同進制對同一個數值的不同表示方式。

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🔍 二、為什么八進制和十六進制是二進制的“簡化形式”？

這是因為在計算機系統中，二進制太長、太繁瑣，而八進制和十六進制可以更簡潔地表示二進制數據。

? 1. 八進制（Octal）與二進制的關系

• 每個八進制位 = 3 位二進制
• 因為 $2^3=8$，所以三位二進制剛好可以表示 0 到 7 這 8 個數字。

📌 示例：

二進制（3位）	八進制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

📌 舉例：

• 二進制 110110111 分組：110 110 111 → 八進制 667

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? 2. 十六進制（Hexadecimal）與二進制的關系

• 每個十六進制位 = 4 位二進制
• 因為 $2^4=16$，所以四位二進制可以表示 0 到 15 的所有數字。

📌 示例：

二進制（4位）	十六進制
0000	0
0001	1
…	…
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

📌 舉例：

• 二進制 110110111100 分組：1101 1011 1100 → 十六進制 DBC

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🧠 總結：為什么會有這些映射關系？

原因	說明
統一表示數量	所有進制都是對同一個數值的不同表示方式
計算機底層是二進制	計算機使用 0 和 1 表示一切數據
八進制、十六進制簡化二進制	每 3 位（八進制）或 4 位（十六進制）可以表示一組二進制，更簡潔
便于人類理解	程序員和工程師更容易記住和操作 FF 而不是 11111111

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📌 舉個生活中的類比：

你可以把進制想象成不同語言對同一個詞的翻譯：

• 英語：cat
• 中文：貓
• 法語：chat
• 日語：貓（ねこ）

它們寫法不同，但表達的都是“貓”這個概念。就像：

• 二進制：1010
• 十進制：10
• 十六進制：A

它們寫法不同，但表示的都是數量 10。

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二進制與其他進制的映射

二進制 (Base-2)	八進制 (Base-8)	十進制 (Base-10)	十六進制 (Base-16)
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F