問題

考慮偏微分方程（PDE）：
$$?\Delta u+u=f,x\in {\mathbb{R}}^n,$$
其中 $$f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$$。這是一個線性橢圓型方程，稱為 Bessel 位勢方程。目標是求解 $$u$$。

由于定義域為整個 $${\mathbb{R}}^n$$，使用傅里葉變換方法處理，因為傅里葉變換能將微分算子轉化為乘法算子，簡化求解過程。

求解步驟

步驟 1: 應用傅里葉變換

對原方程兩邊應用傅里葉變換。傅里葉變換定義為：
$$\hat{u}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(x)e^{?ix?\xi }dx.$$
拉普拉斯算子 $$\Delta$$ 的傅里葉變換性質為：
$$\widehat{?\Delta u}(\xi )=|\xi {|}^2\hat{u}(\xi ).$$
因此，方程 $$?\Delta u+u=f$$ 的傅里葉變換為：
$$\widehat{?\Delta u+u}=\hat{f}?|\xi {|}^2\hat{u}(\xi )+\hat{u}(\xi )=\hat{f}(\xi ),$$
即：
$$(|\xi {|}^2+1)\hat{u}(\xi )=\hat{f}(\xi ).$$
解得：
$$\hat{u}(\xi )=\frac{\hat{f}(\xi )}{|\xi {|}^2+1}.$$

步驟 2: 傅里葉逆變換

通過傅里葉逆變換求 $$u(x)$$。傅里葉逆變換為：
$$u(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{u}(\xi )e^{ix?\xi }d\xi =\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{\hat{f}(\xi )}{|\xi {|}^2+1}{e}^{ix?\xi }d\xi .$$
這可以寫為卷積形式：
$$u(x)=(G?f)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x?y)f(y)dy,$$
其中 $$G$$ 是格林函數，滿足：
$$?\Delta G+G=\delta ,$$
且 $$\delta$$ 是 Dirac delta 分布。這里，$$G$$ 的傅里葉變換為：
$$\hat{G}(\xi )=\frac{1}{|\xi {|}^2+1},$$
因此：
$$G(z)={\mathcal{F}}^{?1}\left(\frac{1}{|\xi {|}^2+1}\right)(z).$$

步驟 3: 計算格林函數 $$G(z)$$

計算 $$G(z)={\mathcal{F}}^{?1}\left(\frac{1}{|\xi {|}^2+1}\right)(z)$$。由于被積函數是徑向函數（僅依賴于 $$|\xi |$$，$$G(z)$$ 也是徑向函數，即 $$G(z)=G(|z|)$$。設 $$r=|z|$$，則：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{e^{iz?\xi }}{|\xi {|}^2+1}d\xi .$$
在球坐標系下，積分可化為：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{?\frac{n?2}{2}}{\int }_0^{\infty }\frac{J_{\frac{n?2}{2}}(\rho |z|){\rho }^{\frac{n}{2}}}{{\rho }^2+1}d\rho ,$$
其中 $$J_{\nu }$$ 是第一類 Bessel 函數，$$\nu =\frac{n?2}{2}$$。利用積分恒等式：
$${\int }_0^{\infty }\frac{J_{\nu }(k)k^{\nu +1}}{k^2+a^2}dk=a^{\nu }{K}_{\nu }(a),\text{Re}\nu >?1,a>0,$$
其中 $$K_{\nu }$$ 是第二類修正 Bessel 函數。代入 $$a=|z|$$ 和 $$k=\rho$$，得：
$${\int }_0^{\infty }\frac{J_{\frac{n?2}{2}}(\rho |z|){\rho }^{\frac{n}{2}}}{{\rho }^2+|z{|}^2}d\rho =|z{|}^{\frac{n?2}{2}}{K}_{\frac{n?2}{2}}(|z|).$$
因此：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{?\frac{n?2}{2}}?|z{|}^{\frac{n?2}{2}}{K}_{\frac{n?2}{2}}(|z|)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2?n}{2}}{K}_{\frac{n?2}{2}}(|z|).$$

步驟 4: 解的表達式

最終解為：
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x?y)f(y)dy,$$
其中格林函數：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2?n}{2}}{K}_{\frac{n?2}{2}}(|z|).$$

解的性質

• 存在性與唯一性：由于 $$f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$$，且算子 $$?\Delta +1$$ 在 $$L^2({\mathbb{R}}^n)$$ 上正定可逆，解 $$u$$ 存在、唯一，且屬于 $$L^2({\mathbb{R}}^n)$$。
• 正則性：解 $$u$$ 具有較好的正則性，因為格林函數 $$G(z)$$ 在無窮遠處指數衰減。

答案

解為：
$$\boxed{u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x?y)f(y)dy}$$
其中格林函數：
$$\boxed{G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2?n}{2}}{K}_{\frac{n?2}{2}}(|z|)}$$
這里 $$K_{\nu }$$ 是第二類修正 Bessel 函數。