文中內容僅限技術學習與代碼實踐參考，市場存在不確定性，技術分析需謹慎驗證，不構成任何投資建議。

19. 相關系數

假設有三個隨機變量x、y和z。
x與y之間的相關系數為0.8，x與z之間的相關系數也是0.8。

Q: 那么y與z之間的最大相關系數和最小相關系數分別是多少？

A: 給定三個隨機變量 $x$、$y$ 和 $z$，其中 $x$ 與 $y$ 的相關系數 ${\rho }_{xy}=0.8$，$x$ 與 $z$ 的相關系數 ${\rho }_{xz}=0.8$。需要求解 $y$ 與 $z$ 的相關系數 ${\rho }_{yz}$ 的最大值和最小值。

相關系數矩陣必須是半正定矩陣，這一條件約束了 ${\rho }_{yz}$ 的可能取值范圍。相關系數矩陣為：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.8& 0.8\\ 0.8& 1& {\rho }_{yz}\\ 0.8& {\rho }_{yz}& 1\end{array}\right]$$

其中 ${\rho }_{yz}$ 是待求量。

求解過程

1. 計算矩陣行列式：

   $$\det (R)=1?(1?1?{\rho }_{yz}?{\rho }_{yz})?0.8?(0.8?1?{\rho }_{yz}?0.8)+0.8?(0.8?{\rho }_{yz}?1?0.8)$$

   簡化后得：

   $$\det (R)=?{\rho }_{yz}^2+1.28{\rho }_{yz}?0.28$$

   半正定性要求 $\det (R)\ge 0$，即：

   $$?{\rho }_{yz}^2+1.28{\rho }_{yz}?0.28\ge 0$$

   兩邊乘以 $?1$（不等號方向反轉）：

   $${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28\le 0$$

2. 求解二次不等式：

   • 解方程 ${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28=0$：

     $$\text{判別式}d=(?1.28{)}^2?4?1?0.28=1.6384?1.12=0.5184,\sqrt{d}=0.72$$

     $${\rho }_{yz}=\frac{1.28\pm 0.72}{2}?{\rho }_{yz}=\frac{2.00}{2}=1.00\text{或}{\rho }_{yz}=\frac{0.56}{2}=0.28$$

   • 二次函數 ${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28$ 的圖象開口向上，因此不等式 ${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28\le 0$ 的解為 ${\rho }_{yz}\in [0.28,1]$。

3. 驗證邊界值：

   • 當 ${\rho }_{yz}=1$ 時，$y$ 和 $z$ 完全正相關，矩陣半正定，且符合相關系數定義。
   • 當 ${\rho }_{yz}=0.28$ 時，矩陣半正定，且可通過具體構造隨機變量實現（例如，設 $x$ 為標準正態分布，$y=0.8x+e_y$，$z=0.8x?e_y$，其中 $e_y$ 與 $x$ 獨立，方差為 0.36，則 ${\rho }_{yz}=0.28$）。
   • 其他主子式（如 1x1 和 2x2 主子式）在 ${\rho }_{yz}\in [0.28,1]$ 內均非負，滿足半正定性。

4. 直觀解釋：

   • 由于 $y$ 和 $z$ 均與 $x$ 正相關（${\rho }_{xy}=0.8,{\rho }_{xz}=0.8$)，它們之間不能負相關，且最小相關系數大于 0。
   • 最大值 1 表示 $y$ 和 $z$ 完全線性相關。
   • 最小值 0.28 表示 $y$ 和 $z$ 的線性關系最弱但仍為正。

結果

• 最大相關系數：$1.00$
• 最小相關系數：$0.28$（或 $\frac{7}{25}$）

因此，$y$ 與 $z$ 之間的相關系數 ${\rho }_{yz}$ 的取值范圍為 $[0.28,1]$，最大值為 $1.00$，最小值為 $0.28$。

$$\boxed{\text{最大相關系數：}1.00\text{最小相關系數：}0.28}$$

Python 實現

以下是使用Python計算y與z之間最大和最小相關系數的實現代碼：

import numpy as np
from numpy.typing import NDArraydef calculate_correlation_bounds() -> tuple[float, float]:"""計算三個隨機變量y與z之間的相關系數邊界。已知條件：- x與y的相關系數 ρ_xy = 0.8- x與z的相關系數 ρ_xz = 0.8數學原理：相關系數矩陣必須是半正定矩陣。通過求解相關系數矩陣的行列式不等式：det([[1,   0.8, 0.8 ],[0.8, 1,   ρ_yz],[0.8, ρ_yz, 1  ]]) ≥ 0得到二次不等式：ρ_yz2 - 1.28ρ_yz + 0.28 ≤ 0解此不等式可得ρ_yz的取值范圍。Returns:tuple[float, float]: 包含兩個元素的元組- 第一個元素：y與z的最小相關系數- 第二個元素：y與z的最大相關系數"""# 相關系數矩陣參數rho_xy: float = 0.8rho_xz: float = 0.8# 計算二次方程的系數a: float = 1.0b: float = -2 * rho_xy * rho_xzc: float = rho_xy**2 + rho_xz**2 - 1# 計算判別式discriminant: float = b**2 - 4 * a * c# 計算二次方程的根（ρ_yz的可能邊界）root1: float = (-b + np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)root2: float = (-b - np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)# 確定最小和最大相關系數min_corr: float = min(root1, root2)max_corr: float = max(root1, root2)return min_corr, max_corrdef validate_correlation_matrix(rho_yz: float) -> bool:"""驗證給定相關系數矩陣的半正定性。Args:rho_yz (float): y與z之間的相關系數Returns:bool: 如果矩陣半正定返回 True，否則返回 False"""# 構造相關系數矩陣corr_matrix: NDArray[np.float64] = np.array([[1.0, 0.8, 0.8], [0.8, 1.0, rho_yz], [0.8, rho_yz, 1.0]], dtype=np.float64)# 檢查所有特征值是否非負eigenvalues: NDArray[np.float64] = np.linalg.eigvals(corr_matrix)return np.all(eigenvalues >= 0)# 計算相關系數邊界
min_corr, max_corr = calculate_correlation_bounds()# 驗證邊界值的有效性
is_min_valid = validate_correlation_matrix(min_corr)
is_max_valid = validate_correlation_matrix(max_corr)# 輸出結果
print(f"y與z的最小相關系數: {min_corr:.4f} (驗證: {'通過' if is_min_valid else '未通過'})"
)
print(f"y與z的最大相關系數: {max_corr:.4f} (驗證: {'通過' if is_max_valid else '未通過'})"
)# 驗證邊界內的值（0.5）
mid_val = 0.5
is_mid_valid = validate_correlation_matrix(mid_val)
print(f"\n驗證中間值ρ_yz={mid_val}: {'有效' if is_mid_valid else '無效'}")

代碼說明

1. calculate_correlation_bounds() 函數：

   • 通過求解相關系數矩陣的行列式不等式 ${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28\le 0$ 計算邊界
   • 返回最小相關系數(0.28)和最大相關系數(1.0)

2. validate_correlation_matrix() 函數：

   • 構造相關系數矩陣并計算特征值
   • 驗證矩陣的半正定性（所有特征值 $\ge 0$）

3. main() 函數：

   • 計算并輸出相關系數邊界
   • 驗證邊界值和中間值的有效性

輸出結果

y與z的最小相關系數: 0.2800 (驗證: 通過)
y與z的最大相關系數: 1.0000 (驗證: 通過)驗證中間值ρ_yz=0.5: 有效

關鍵數學推導

相關系數矩陣：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0.8& 0.8\\ 0.8& 1& {\rho }_{yz}\\ 0.8& {\rho }_{yz}& 1\end{array}\right]$$

行列式非負要求：

$$?{\rho }_{yz}^2+1.28{\rho }_{yz}?0.28\ge 0$$

解得：

$${\rho }_{yz}\in [0.28,1.00]$$

---

這道面試題的本質是考察候選人將金融統計問題轉化為矩陣代數約束的能力和對金融模型可行域的邊界分析思維，這類能力直接對應資產組合優化、風險因子建模和衍生品對沖中的相關性矩陣驗證需求。

🔑 核心知識點

1. 相關系數矩陣的數學性質

   • 半正定性要求（所有特征值 ≥0）是金融模型的基礎約束，確保資產組合方差非負。
   • 行列式不等式 ${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28\le 0$ 本質是協方差矩陣可行域的邊界條件。

2. 多元隨機變量的相關性結構

   • 通過公共因子（如本題中的 $x$）推導隱含相關性邊界，類似多資產組合中的因子暴露分析。
   • 最小相關系數 $0.28$ 反映殘差項的獨立性約束（$y=0.8x+{\epsilon }_y$, $z=0.8x+{\epsilon }_z$，其中 $\mathrm{Cov}({\epsilon }_y,{\epsilon }_z)\ge 0$）。

3. 量化金融中的實際應用

   • 風險模型：驗證因子相關性矩陣有效性（如Barra風險模型）。
   • 衍生品定價：多資產期權需確保相關系數矩陣合法（如彩虹期權）。
   • 組合優化：違反半正定性將導致馬科維茨前沿計算失效。

📊 面試評估維度

考察維度	具體表現要求	本題對應點
數學抽象能力	將統計約束轉化為矩陣代數問題	通過相關系數矩陣行列式 $\ge 0$ 推導二次不等式
邊界分析思維	識別可行域邊界并驗證極端值	計算最小/最大相關系數（0.28和1.0），并驗證其數學可行性
金融直覺	理解相關性在金融模型中的實際意義	解釋為何 ${\rho }_{yz}$ 不能為負（若為負，組合風險可能被低估）
編程實現能力	將數學推導轉化為可驗證代碼	用Python實現矩陣半正定性檢查（特征值 $\ge 0$）

🧩 典型回答框架

1. 建立數學模型

   • 寫出相關系數矩陣：

     $$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.8& 0.8\\ 0.8& 1& {\rho }_{yz}\\ 0.8& {\rho }_{yz}& 1\end{array}\right]$$

   • 半正定性要求：$\det (R)\ge 0$ 且所有主子式 $\ge 0$。

2. 推導不等式約束

   • 計算行列式：

     $$\det (R)=?{\rho }_{yz}^2+1.28{\rho }_{yz}?0.28\ge 0$$

   • 化簡為二次不等式：

     $${\rho }_{yz}^2?1.28{\rho }_{yz}+0.28\le 0$$

3. 求解邊界值

   • 求根公式：

     $${\rho }_{yz}=\frac{1.28\pm \sqrt{1.28^2?4\times 0.28}}{2}=1.0\text{或}0.28$$

   • 解區間：${\rho }_{yz}\in [0.28,1.0]$

4. 金融意義解釋

   • 最大值1.0：$y$ 和 $z$ 完全共線性（如兩只高度關聯的股票）。
   • 最小值0.28：$y$ 和 $z$ 通過 $x$ 弱相關（如同一行業的不同公司）。

💡 核心洞察

在量化金融中，相關性矩陣的合法性直接決定模型風險：

• 若輸入無效相關系數（如 ${\rho }_{yz}=0.2$），組合優化可能輸出錯誤的最優權重；
• 高頻交易中，實時相關性矩陣需通過半正定性檢查（如Cholesky分解前驗證）；
• 本題的邊界值 $0.28$ 本質是模型對殘差項獨立性的最低要求——突破此邊界意味著系統存在未識別的隱含風險。

總結：通過約束優化揭示變量間的隱性結構，正是量化金融中因子建模、風險壓縮（Risk PCA）和套利策略設計的核心邏輯。

風險提示與免責聲明
本文內容基于公開信息研究整理，不構成任何形式的投資建議。歷史表現不應作為未來收益保證，市場存在不可預見的波動風險。投資者需結合自身財務狀況及風險承受能力獨立決策，并自行承擔交易結果。作者及發布方不對任何依據本文操作導致的損失承擔法律責任。市場有風險，投資須謹慎。