2025 年第十五屆 MathorCup 數學建模C題完整分析論文

目錄

摘 要

一、問題分析

二、問題重述

三、模型假設

四、 模型建立與求解

4.1問題1

4.1.1問題1思路分析

4.1.2問題1模型建立

4.1.3問題1代碼（僅供參考）

4.1.4問題1求解結果（僅供參考）

4.2問題2

4.2.1問題2思路分析

4.2.2問題2模型建立

4.2.3問題2代碼（僅供參考）

4.2.4問題2求解結果（僅供參考）

4.3問題3

4.3.1問題3思路分析

4.3.2問題3模型建立

4.3.4問題3代碼（僅供參考）

4.3.4問題3求解結果（僅供參考）

4.4問題4

4.4.1問題4思路分析

4.4.2問題4模型建立

4.4.3問題4樣例代碼（僅供參考）

4.4.4問題4求解結果（僅供參考）

五、 模型推廣

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摘 要

本論文聚焦于音頻文件處理中的關鍵問題，圍繞音頻格式評估、壓縮參數優化、編碼策略選擇及噪聲分析與去除，綜合運用數學建模、信號處理與多指標評價方法，旨在為音頻數據在不同應用場景下的高效管理與處理提供理論依據與實踐指導，提升音頻處理系統的綜合性能。

在問題一中，我們針對WAV、MP3、AAC三種主流音頻格式在存儲效率與音質保真之間的權衡關系，設計了一套綜合評價指標體系。該體系引入文件大小、音質損失、編解碼復雜度與應用場景匹配度四個維度，采用標準化處理與加權評分的方法構建評價模型，實現對不同音頻格式在多場景下的優劣排序與推薦，提升了評估的客觀性與實用性。

在問題二中，基于附件1中提供的音頻文件，構建了音頻參數（如采樣率、比特深度、壓縮算法）對音質與文件大小影響的關系模型，通過回歸分析與曲線擬合等方法，量化各參數對結果的貢獻程度。進而提出“音頻性價比指標”，用于衡量音頻質量與文件體積的平衡。最終對所有參數組合文件進行了排序分析，并分別給出在語音類與音樂類場景下的最優參數配置建議。

在問題三中，我們開發了一種基于音頻特征的自適應編碼方案，融合頻譜特征提取、信號包絡分析與分類模型，實現在輸入音頻時自動判別其類型與特性，并根據預測結果智能選取最優編碼參數。實驗結果顯示，該方法在保證音質保真的前提下有效壓縮文件大小，并在多種音頻類型中均優于傳統固定參數方案，具有良好的通用性與實用價值。

在問題四中，利用時頻分析與小波變換等信號處理方法，對附件2中的音頻樣本進行了詳細的噪聲識別和分類建模。通過提取背景噪聲、突發噪聲和帶狀噪聲的時頻特征，建立特征參數集合，并據此提出了一種基于噪聲類型判別的自適應去噪算法。該算法能根據噪聲類型自動選擇最合適的濾波器和降噪策略，實驗結果表明其在提高信噪比方面具有明顯優勢，同時分析了算法在不同噪聲強度與混合類型下的適用范圍與局限性。

本研究以多維度定量分析和算法優化為基礎，構建了涵蓋評估、優化、識別與處理的完整音頻建模體系，具有較強的系統性與推廣價值。論文提出的模型不僅可服務于音頻壓縮與傳輸，也可為音頻處理系統的智能化升級提供參考。

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一、問題分析

問題 1：綜合評價指標的設計分析

在音頻處理領域，不同的音頻格式（如WAV、MP3、AAC）具有不同的特點和適用場景，如何在存儲效率與音質保真度之間找到平衡，是本問題的核心。首先，文件大小是一個直接影響存儲和傳輸效率的重要指標。WAV格式通常未經過壓縮，導致文件較大，而MP3和AAC等格式采用有損壓縮技術，可以顯著減小文件大小，但可能會犧牲音質。因此，需要評估不同格式的文件大小，并考慮與原始音頻相比的音質損失。音質損失是通過與原始音頻的對比，使用信噪比（SNR）等指標量化的。其次，編解碼復雜度也是一個不可忽視的因素，尤其是在實時應用或流媒體傳輸中，編碼解碼的計算復雜度可能影響系統的性能。最后，適用場景也是設計評價指標時必須考慮的因素，不同格式在流媒體傳輸、專業錄音等場景中的表現有所差異。因此，本問題要求設計一個綜合評價指標，綜合考慮以上因素，從而為不同場景下的音頻格式選擇提供理論依據。

問題 2：音頻參數與性價比指標的分析

在本問題中，重點分析音頻文件的采樣率、比特深度、壓縮算法等參數對音頻質量和文件大小的影響。采樣率決定了音頻信號采樣的頻率，直接影響音頻的質量和文件大小，較高的采樣率通常帶來更高的音頻質量和更大的文件體積。比特深度則影響音頻的動態范圍，較高的比特深度能夠捕捉更豐富的音頻細節。壓縮算法，特別是有損壓縮算法如MP3和AAC，也會影響音頻的文件大小和音質，壓縮率越高，音質損失可能越大。因此，設計性價比指標時，需要平衡音質與文件大小之間的關系，考慮到音頻內容的不同（如語音和音樂），適當調整參數組合。通過對附件1中音頻文件的分析，可以針對音樂和語音內容提出不同的參數選擇方案，優化音頻質量與文件大小之間的平衡。

問題 3：自適應編碼方案設計分析

在本問題中，需要設計一種自適應編碼方案，能夠自動分析輸入音頻的特征（如語音或音樂類型、頻譜特點、動態范圍等），并基于這些特征選擇最佳的編碼參數。音頻的不同特征可能對編碼效率產生不同影響，語音通常具有較窄的頻譜范圍，而音樂包含更多的頻率成分，因此，選擇合適的編碼方式能夠在保證音質的前提下減小文件大小。自適應編碼方案的設計需要能夠實時分析音頻特征并動態調整編碼參數，而非使用固定的參數設置。通過對附件1中的原始音頻樣本（如音樂和語音）進行優化，比較自適應編碼方案與固定編碼參數方案的效果，能夠評估該方案在優化文件大小和音質保真度方面的優勢和效果。最終，能夠為不同類型的音頻提供針對性的編碼方案，提高編碼效率和音質。

問題 4：噪聲識別與去噪策略的分析

本問題要求對附件2中的音頻文件進行時頻分析，并建立數學模型識別并量化各類噪聲的特征參數。噪聲類型繁多，包括背景噪聲、突發噪聲、帶狀噪聲等，它們在頻譜和時域上表現不同，識別這些噪聲的特征參數對于去噪處理至關重要。通過時頻分析技術（如短時傅里葉變換或小波變換），可以有效地將噪聲與有用信號區分開來。針對不同類型的噪聲，提出改進的去噪策略或自適應算法，以便能夠根據噪聲類型自動選擇最優的去噪方法。去噪后的音頻文件應通過信噪比（SNR）來評估效果，同時分析在不同噪聲強度下去噪算法的適用范圍與局限性。通過對樣本音頻的處理，能夠展示不同噪聲條件下去噪方法的有效性，并為實際應用中的噪聲處理提供理論支持。

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二、問題重述

問題 1：綜合評價指標的設計

本問題要求設計一個綜合評價指標，用于量化不同音頻格式（WAV、MP3、AAC等）在存儲效率和音質保真度之間的平衡關系。該指標應綜合考慮四個因素：文件大小、音質損失、編解碼復雜度以及適用場景。具體而言，需要對比不同格式在存儲空間占用上的差異，同時評估它們與原始音頻相比的音質損失程度。此外，考慮到不同格式的編解碼復雜度，需分析其對計算資源消耗的影響。最后，根據不同的應用場景（如流媒體傳輸或專業錄音等）評估各個格式的適用性，最終提出一個綜合的評價模型。

問題 2：音頻參數與性價比指標

本問題要求基于附件 1 中的音頻文件，建立數學模型，分析采樣率、比特深度、壓縮算法等參數對音頻質量和文件大小的影響。設計一個性價比指標，衡量音質與文件大小的平衡。根據音頻文件的不同參數組合（如采樣率、比特深度和壓縮算法），對附件中的音頻文件進行排序，并分別針對音樂和語音內容，提出最佳的參數選擇方案。特別是，要排除原始音樂文件和原始語音文件，重點分析在不同參數組合下得到的文件的優化結果。

問題 3：自適應編碼方案設計

本問題要求設計一種自適應編碼方案，能夠分析輸入音頻的特征，如區分語音和音樂類型、識別頻譜特點和動態范圍，并據此自動選擇最佳的編碼參數。方案需要基于這些特征來調整編碼參數，優化音頻質量與文件大小之間的平衡。通過對附件 1 中提供的原始音樂和語音音頻樣本進行測試，記錄優化后的參數選擇、文件大小和音質保真度，并與固定參數方案進行對比，分析自適應編碼方案帶來的改進和優勢。

問題 4：噪聲識別與去噪策略

本問題要求基于附件 2 中的音頻文件，對樣本音頻進行時頻分析，建立數學模型來識別并量化各類噪聲（如背景噪聲、突發噪聲、帶狀噪聲等）的特征參數。根據不同噪聲類型的特點，提出一種改進的去噪策略或自適應算法，能夠自動選擇最佳的去噪處理方法。處理樣本音頻后，需在論文中給出每個音頻包含的噪聲種類，并計算去噪后的信噪比，分析在不同噪聲類型和強度下，去噪算法的適用范圍與局限性。

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4.2.1問題2思路分析

在本題中，我們面臨的核心任務是探討音頻文件的編碼參數（包括采樣率、比特深度和壓縮算法）如何影響音質與文件大小，并在此基礎上構建一個衡量音頻文件“性價比”的指標體系，從而為語音和音樂兩類內容分別推薦最優的參數組合。首先，采樣率和比特深度是音頻信號采集與還原精度的關鍵技術指標，采樣率越高，能夠記錄的頻率范圍越廣，比特深度越大，能表達的音頻細節和動態范圍也越豐富；然而，這兩者的增加也必然帶來文件體積的顯著上升。而壓縮算法則是平衡存儲與音質的關鍵手段，不同編碼格式如WAV（無壓縮）、MP3（有損壓縮）、AAC（高效壓縮）對原始音頻的還原能力及其文件大小表現差異明顯。因此，我們的首要任務是定量分析這些參數組合在音質和體積方面的變化趨勢。

為此，模型首先需要建立參數與結果之間的映射關系。我們將針對附件1中的音頻文件提取其編碼參數、計算其文件大小，并采用音質評價指標（如信噪比SNR、均方誤差MSE、或主觀音質評分MOS等）來評估各音頻文件的保真度。利用這些數據，我們可以分析不同采樣率、比特深度和壓縮方式在音質與體積之間的平衡特點。分析方法可以包括線性或非線性回歸建模，也可采用聚類分析或主成分分析等多變量技術，識別出參數變化對音頻質量和存儲開銷的主導影響因素。此過程有助于揭示哪些參數變化是“高代價低收益”的，哪些組合更具效率優勢。

接著，我們將構建一個“性價比”指標模型，用于綜合評價每組參數配置的表現。該指標的核心思想是，在滿足音質要求的前提下盡量降低文件大小，或者在單位文件大小下最大程度保留音質信息。考慮到音質和體積的指標存在量綱不同、變化區間不同的問題，我們首先需要對各評價維度進行標準化處理，然后根據兩者的權重（可根據實際應用場景設定或使用熵權法等客觀賦權方式）進行加權組合，形成一個可比較的性價比評分。這樣，我們可以對所有音頻文件在統一標準下進行排序，找出那些既節省存儲空間又保證音質的參數組合，從而為后續的推薦提供數據支撐。

最后，由于語音音頻和音樂音頻在音頻特性和聽覺敏感度方面存在明顯差異，模型還需對二者分別建模分析。語音音頻更關注清晰度、語義可辨識度和頻譜集中度，過高的采樣率或比特深度對其識別準確率提升有限；而音樂音頻則需保留更多頻率細節和動態變化，對保真度要求更高，壓縮容忍度較低。因此，我們將在模型中設立分類維度，分別對語音類和音樂類音頻文件進行性價比評分排序，最終輸出兩個類別下的最優參數推薦方案。這種分類建模的方法不僅提高了模型的針對性和解釋力，也更貼合實際應用中對不同內容類型的處理需求。

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4.3.1問題3思路分析

1. 自適應編碼方案的設計

目標： 設計一個自適應編碼方案，能夠根據輸入音頻的特征自動選擇最優的編碼參數，以提升音頻的存儲效率和音質保真度。

為了達到這個目標，我們需要在編碼過程中考慮音頻的具體特性，例如音頻的類型（語音或音樂），頻譜特點和動態范圍。基于這些特征，編碼系統應能夠自動選擇合適的參數，以優化音頻的存儲和質量。

2. 音頻特征的提取與分析

為了實現自適應編碼，我們首先需要對音頻文件進行特征分析。這一過程包括但不限于以下幾個方面：

- 區分語音與音樂類型： 語音和音樂具有不同的頻譜特性。語音信號通常具有較窄的頻帶，并且頻譜主要集中在幾百赫茲到幾千赫茲之間；而音樂信號則包含了更寬的頻譜范圍，且包含更多復雜的音調和和聲。我們可以使用傅里葉變換或小波變換提取音頻的頻譜信息，結合機器學習分類方法（如支持向量機、KNN等）來區分語音和音樂。

- 頻譜特點分析： 通過對音頻信號的頻譜進行分析，我們可以識別音頻的頻率分布特征。比如，音樂通常有更高的頻譜復雜度和更多的高頻成分，而語音信號的頻譜則以中低頻成分為主。可以通過頻譜的幅度和相位特征來評估。

- 動態范圍識別： 動態范圍是指音頻中最小和最大聲音強度的差距。語音信號通常具有較小的動態范圍，而音樂信號的動態范圍較大。可以通過分析音頻信號的響度變化來評估其動態范圍。

3. 編碼參數的選擇

基于提取的音頻特征，我們可以為不同類型的音頻（語音或音樂）選擇最佳的編碼參數。常見的編碼參數包括：

- 比特率： 對于語音，通常可以選擇較低的比特率（如64kbps-128kbps），因為語音的頻譜較簡單，低比特率就能保留足夠的信息；而對于音樂，尤其是復雜的音樂作品，選擇較高的比特率（如192kbps-320kbps）更為合適，以保證音質的細節和豐富性。

- 采樣率： 對于高質量音樂，通常選擇更高的采樣率（如44.1kHz或更高），以保留更多的高頻信息。而語音則可以選擇較低的采樣率（如16kHz），以提高編碼效率。

- 壓縮算法： 基于音頻的特性，可以選擇不同的壓縮算法。例如，MP3、AAC等有不同的壓縮效率和質量表現，AAC通常在較低比特率下表現較好，適合于語音，而音樂則可能更適合使用較高質量的編碼算法。

4. 實施與優化

一旦確定了音頻特征與編碼參數的關系，接下來就是應用這一自適應編碼方案。

- 對于給定的音頻（無論是語音還是音樂），首先通過前述的特征提取方法判斷其類型、頻譜特征和動態范圍。

- 根據分析結果，自動選擇合適的編碼參數組合（如比特率、采樣率和壓縮算法）。

- 對比固定參數方案，記錄優化后的參數、文件大小和音質保真度。優化的目標是盡可能減小文件大小，同時最大限度地保留音質。

5. 性能對比與結果分析

最后，使用優化后的自適應編碼方案對附件 1 中的原始音樂和語音音頻樣本進行處理，并與固定參數方案進行對比。對比時，主要關注以下幾個方面：

- 文件大小： 優化后的方案應該在不顯著降低音質的前提下，盡可能減少文件的大小。

- 音質保真度： 通過計算信噪比、MOS評分等方式對音質保真度進行評估，比較優化前后的音質差異。

根據這些對比數據，分析自適應編碼方案帶來的改進，驗證該方案在不同類型音頻中的有效性和優越性。

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4.2.3問題2代碼（僅供參考）

import pandas as pd

import numpy as np

import os

from datetime import datetime

創建結果文件夾

results_folder = "問題2結果"

if not os.path.exists(results_folder):

os.makedirs(results_folder)

讀取數據

file_path = r'C:\Users\18344\Desktop\C題 -數學建模老哥\音頻分析結果\音頻分析結果.csv'

df = pd.read_csv(file_path)

篩選去除原始音樂和原始語音文件 - 創建副本而不是視圖

df_filtered = df[~df['文件名'].str.contains("原始", na=False)].copy()

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4.1.3問題1代碼（僅供參考）

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

import numpy as np

from matplotlib.gridspec import GridSpec

import os

創建結果文件夾

output_dir = '問題1結果'

if not os.path.exists(output_dir):

os.makedirs(output_dir)

設置整體風格

plt.style.use('default') 使用默認樣式

sns.set_theme(style="whitegrid") 設置seaborn主題

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.rcParams['figure.facecolor'] = 'white'