MATLAB 控制系統設計與仿真

MATLAB 控制系統設計與仿真 - 37

范數魯棒控制器的設計

$H_2, H_{\infty}$ 魯棒控制器的設計

根據雙端子狀態方程對象模型結構， $H_{\infty}$ 控制器設計的目標是找到一個控制器K(s),它能保證閉環系統的 $H_{\infty}$ 范數限制在一個給定的小整數 $\gamma$ 下，即

$\left \| T_{y_1 u_1}(s)\right \|_{\infty}< \gamma$

這時控制器的狀態方程為：

$\dot{x}(t)=A_fx(t)-ZLu(t) \\ y(t)=Kx(t) \\ A_f=A+\gamma ^{-2}B_1B_1^TX+B_2K+ZLC_2 \\ K=-B_2 ^TX,L=-YC_2^T,Z=(I-\gamma ^{-2}YX)^{-1}$

其中X與Y分別為下面兩個代數Riccati方程的解。

$A^TX+XA+X(\gamma ^{-2}B_1B_1^Tx-B_2B_2^T)X+C_1C_1^T=0 \\ A^TY+YA+Y(\gamma ^{-2}C_1C_1^Tx-C_2C_2^T)X+B_1B_1^T=0$

$H_{\infty}$ 控制器存在的前提條件為：

在增廣矩陣中， $D_{11}$ 足夠小，且滿足 $D_{11}<\gamma$
控制器Riccati方程的解X為正定矩陣
觀測器Riccati方程的解Y為正定矩陣
$\lambda _{max}(XY)<\gamma ^2$ ,即兩個Riccati方程的積矩陣的所有特征值均小于 $\gamma ^2$

在上述前提條件下搜索最小的 $\gamma$ 值，則可設計出最優 $H_{\infty}$ 控制器。

$H_2, H_{\infty}$ 魯棒控制器的實現

對雙端子模型G，魯棒控制工具箱中相應的函數可以直接用于控制器的設計，這些函數的調用格式為：

[K,CL,gamma] = h2syn(G,nmeas,ncont); % nmeas:輸出信號y的個數% ncont：控制信號u的個數% K 為優化的控制器狀態空間方程% CL為w到z的傳遞函數% gamma為CL的2范數[K,CL,gamma] = hinfsyn(G,nmeas,ncont); % nmeas:輸出信號y的個數% ncont：控制信號u的個數% K 為優化的控制器狀態空間方程% CL為w到z的傳遞函數% gamma為CL的無窮范數

其中控制系統的雙端子模型如下所示。

例如：

考慮一下對象模型：

$G(s)=\frac{300}{s^2+1.5s+300} \\ W_1(s)=\frac{100(0.06s+1)^2}{(0.3s+1)^2},\\ W_2(s)=1; \\ W_3(s)=\frac{s^2}{3000}$

試用MATLAB魯棒控制函數設計 $H_2, H_{\infty}$ 控制器。

首先利用MATLAB函數h2syn計算在優化 $H_2$ ?norm下的控制器。

MATLAB代碼如下：

clear all;clc;
num=300;
den=[1 1.5 300];
G=tf(num,den);
s=tf('s');
W1=100*(0.06*s+1)^2/(0.3*s+1)^2;
W2=1;
W3=s^2/3000;
Tss=augtf(G,W1,W2,W3);
[K,CL,gamma]=h2syn(Tss);
Gc=feedback(G,K);
step(feedback(G*tf(K),1))
grid on

程序運行結果為：

其次利用MATLAB函數hinfsyn計算在優化 $H_{\infty}$ ?norm下的控制器。

MATLAB代碼如下：

clear all;clc;
num=300;
den=[1 1.5 300];
G=tf(num,den);
s=tf('s');
W1=100*(0.06*s+1)^2/(0.3*s+1)^2;
W2=1;
W3=s^2/3000;
Tss=augtf(G,W1,W2,W3);
[K,CL,gamma]=hinfsyn(Tss);
Gc=feedback(G,K);
step(feedback(G*tf(K),1))
grid on

程序運行結果為：

如果知道了控制器，大家可以

畫出閉環系統的傳遞函數
引入模型不確定性，然后觀察系統響應
觀察輸入信號曲線，進而判斷控制器的可行性

最后，歡迎大家有問題給我留言。

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