一、LSTM的背景與動機

1.1 為什么需要LSTM？

在深度學習中，普通的神經網絡（如全連接網絡或卷積神經網絡）在處理序列數據時表現不佳，因為它們無法捕捉數據中的時間依賴關系。循環神經網絡（RNN）被設計來處理序列數據，通過隱藏狀態在時間步之間傳遞信息。然而，傳統RNN存在兩個主要問題：

• 梯度消失/爆炸：在反向傳播時，梯度可能隨著時間步的增加變得極小（消失）或極大（爆炸），導致模型難以學習長期依賴關系。
• 長期依賴問題：RNN在理論上可以記住長時間步的信息，但實際上由于梯度問題，很難捕捉長序列中的遠距離依賴。

LSTM由Hochreiter和Schmidhuber在1997年提出，旨在解決這些問題。它通過引入門控機制（Gates）和記憶單元（Cell State），能夠選擇性地記住或遺忘信息，從而有效建模長期和短期依賴。

1.2 LSTM的核心思想

LSTM的核心是通過一個記憶單元（Cell State）來保存長期信息，并通過門控機制（輸入門、遺忘門、輸出門）控制信息的流動。這些門決定：

• 哪些信息需要被保留（長期記憶）。
• 哪些信息需要被遺忘。
• 當前時間步應該輸出什么。

這使得LSTM在處理長序列時表現優異，適合任務如機器翻譯、文本生成和時間序列預測。

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二、LSTM的架構與工作原理

LSTM的基本單元由以下幾個部分組成：

• 記憶單元（Cell State）：負責存儲長期信息，貫穿整個序列。
• 隱藏狀態（Hidden State）：負責輸出當前時間步的信息，包含短期記憶。
• 門控機制：包括遺忘門（Forget Gate）、輸入門（Input Gate）和輸出門（Output Gate），控制信息的流動。

下面我們詳細解析每個部分。

2.1 記憶單元（Cell State）

記憶單元是LSTM的核心，它像一條“傳送帶”，貫穿所有時間步，負責存儲和傳遞長期信息。Cell State通過門控機制進行更新，確保模型能夠記住關鍵信息（如句子的主語）并遺忘無關信息。

數學上，Cell State在時間步 $t$ 的更新公式為：
$C_t=f_t\odot C_{t?1}+i_t\odot {\tilde{C}}_t$
其中：

• $C_t$：當前時間步的Cell State。
• $C_{t?1}$：上一時間步的Cell State。
• $f_t$：遺忘門輸出，決定保留多少上一時間步的信息。
• $i_t$：輸入門輸出，決定當前輸入有多少信息被加入。
• ${\tilde{C}}_t$：候選Cell State，表示當前時間步的候選記憶。
• $\odot$：逐元素相乘（Hadamard乘積）。

2.2 隱藏狀態（Hidden State）

隱藏狀態 $h_t$ 是LSTM的輸出，包含當前時間步的短期信息。它由Cell State通過輸出門進行調節：
$h_t=o_t\odot \tanh (C_t)$
其中：

• $o_t$：輸出門輸出，控制Cell State的信息流向隱藏狀態。
• $\tanh$：激活函數，將Cell State的值壓縮到 $[?1,1]$.

隱藏狀態 $h_t$ 通常被用作模型的輸出，或傳遞到下一層網絡。

2.3 門控機制

LSTM通過三個門控機制控制信息的流動，每個門都使用sigmoid激活函數（輸出范圍為 $[0,1]$），決定信息保留的比例。

2.3.1 遺忘門（Forget Gate）

遺忘門決定上一時間步的Cell State中有多少信息需要被遺忘。它的計算公式為：
$f_t=\sigma (W_f?[h_{t?1},x_t]+b_f)$
其中：

• h t ? 1 h_