一．實驗目的

1了解圖像變換的意義和手段；

2熟悉傅立葉變換的基本性質；

3熟練掌握FFT變換方法及應用；

4通過實驗了解二維頻譜的分布特點；

5通過本實驗掌握利用MATLAB編程實現數字圖像的傅立葉變換。

6評價人眼對圖像幅頻特性和相頻特性的敏感度。

二．實驗內容：

1． 將圖像內容讀入內存；

2． 用Fourier變換算法，對圖像作二維Fourier變換；

3． 將其幅度譜進行搬移，在圖像中心顯示；

4． 用Fourier系數的幅度進行Fourier反變換；

5． 用Fourier系數的相位進行Fourier反變換；

6． 比較4、5的結果，評價人眼對圖像幅頻特性和相頻特性的敏感度。

7． 記錄和整理實驗報告。

三．實驗程序、實驗結果與實驗分析：

1.實驗程序

I = imread('Lenna.jpg');I_gray = rgb2gray(I);figure;subplot(2, 2, 1);imshow(I);title('原始圖像');F = fft2(double(I_gray));F_shifted = fftshift(F);amplitude_spectrum = log(1 + abs(F_shifted));subplot(2, 2, 2);imshow(amplitude_spectrum, []);title('幅度譜');reconstructed_amplitude = ifft2(abs(F));reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));subplot(2, 2, 3);imshow(mat2gray(abs(reconstructed_amplitude)));title('使用幅度譜的反變換結果');subplot(2, 2, 4);imshow(mat2gray(abs(reconstructed_phase)));title('使用相位譜的反變換結果');

2.實驗結果

3.實驗分析

①讀取圖像，轉換為灰度圖像以簡化處理

I = imread('Lenna.jpg');I_gray = rgb2gray(I);

②用Fourier變換算法對圖像作二維Fourier變換

F = fft2(double(I_gray));

③將幅度譜進行搬移，在圖像中心顯示

F_shifted = fftshift(F);amplitude_spectrum = log(1 + abs(F_shifted));

④顯示幅度譜

subplot(2, 2, 2);imshow(amplitude_spectrum, []);title('幅度譜');

⑤用Fourier系數的幅度進行Fourier反變換

reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));

⑥用Fourier系數的相位進行Fourier反變換

reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));

⑦顯示幅度譜反變換結果

subplot(2, 2, 3);imshow(mat2gray(abs(reconstructed_amplitude)));title('使用幅度譜的反變換結果');

⑧顯示相位譜反變換結果

subplot(2, 2, 4);imshow(mat2gray(abs(reconstructed_phase)));title('使用相位譜的反變換結果');

四．思考題

1．傅里葉變換有哪些重要的性質?

• 線性性：傅里葉變換是線性的，即對于任意標量α和β以及函數f(x)和g(x)，有F(αf(x) + βg(x)) = αF(f(x)) + βF(g(x))。
• 平移性：如果f(x)的傅里葉變換是F(u)，則f(x - x0)的傅里葉變換是F(u) * exp(-i2πux0)。
• 對稱性：實函數的傅里葉變換具有對稱性，即實函數的傅里葉變換的實部是偶函數，虛部是奇函數。
• 頻率域的微分：對于函數f(x)和其傅里葉變換F(u)，其導數在頻率域上的傅里葉變換是iuF(u)。
• 卷積定理：傅里葉變換將卷積操作轉換為點乘操作，即f(x) * g(x)的傅里葉變換是F(u)G(u)。

2．圖像的二維頻譜在顯示和處理時應注意什么?

• 頻率域中心化：在顯示二維頻譜時，通常會對其進行中心化處理，以使低頻成分位于圖像中心，而高頻成分位于圖像邊緣。這有助于更直觀地理解圖像的頻率特性。
• 對數變換：頻譜的幅度經常采用對數變換進行顯示，以增強低幅度的頻率分量，使其更易于觀察。
• 振鈴效應：頻譜顯示中的振鈴效應可能會影響圖像的解釋。這是由于在圖像邊界處存在突變，導致頻譜中的高頻成分較多。在處理圖像時，應該注意這種效應，以避免不必要的影響。
• 信息丟失：頻譜顯示通常只顯示了頻率分量，而丟失了圖像的空間信息。因此，在處理圖像時，必須考慮到這一點，以確保不會丟失關鍵的空間信息。