【C++航海王：追尋羅杰的編程之路】關聯式容器的底層結構—

1 -> 底層結構

2 -> AVL樹

2.1 -> AVL樹的概念

2.2 -> AVL樹節點的定義

2.3 -> AVL樹的插入

2.4 -> AVL樹的旋轉

2.5 -> AVL樹的驗證

2.6 -> AVL樹的性能

1 -> 底層結構

在上文中對對map/multimap/set/multiset進行了簡單的介紹，在其文檔介紹中發現，這幾個容器有個共同點是：其底層都是按照二叉搜索樹來實現的，但是二叉搜索樹有其自身的缺陷，假如往樹中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索樹就會退化成單支樹，時間復雜度會退化成O(N)，因此
map、set等關聯式容器的底層結構是對二叉樹進行了平衡處理，即采用平衡樹來實現。

2 -> AVL樹

2.1 -> AVL樹的概念

二叉搜索樹雖然可以縮短查找的效率，但如果數據有序或者接近有序的二叉搜索樹將退化成單支樹，查找元素相當于在順序表中搜索元素，效率低下。因此，兩位俄羅斯的數學家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發明了一種解決上述問題的方法：當向二叉搜索樹中插入新節點后，如果能保證每個節點的左右子樹的高度差的絕對值不超過1(需要對樹中的節點進行調整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索的長度。

一棵AVL樹或者空樹，或者是具有以下性質的二叉搜索樹：

它的左右子樹都是AVL樹
左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索樹是高度平衡的，它就是AVL樹。如果它有n個節點，其高度可保持在O(n)，搜索時間復雜度O(n)。

2.2 -> AVL樹節點的定義

AVL樹節點的定義：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 該節點的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 該節點的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 該節點的雙親T _data;int _bf;				  // 該節點的平衡因子
};

2.3 -> AVL樹的插入

AVL樹就是在二叉搜索樹的基礎上引入了平衡因子，因此AVL樹也可以看成是二叉搜索樹。那么AVL樹的插入過程可以分為兩步：

按照二叉搜索樹的方式插入新節點。
調整節點的平衡因子。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 該節點的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 該節點的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 該節點的雙親T _data;int _bf;				  // 該節點的平衡因子bool Insert(const T& data){// 1. 先按照二叉搜索樹的規則將節點插入到AVL樹中// 2. 新節點插入后，AVL樹的平衡性可能會遭到破壞，//	  此時就需要更新平衡因子，并檢測是否破壞了AVL樹的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要調整，在插入之前，pParent的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：1. 如果pCur插入到pParent的左側，只需給pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右側，只需給pParent的平衡因子+1即可此時：pParent的平衡因子可能有三種情況：0，正負1， 正負21. 如果pParent的平衡因子為0，說明插入之前pParent的平衡因子為正負1，插入后被調整成0，此時滿足AVL樹的性質，插入成功2. 如果pParent的平衡因子為正負1，說明插入前pParent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負1，此時以pParent為根的樹的高度增加，需要繼續向上更新3. 如果pParent的平衡因子為正負2，則pParent的平衡因子違反平衡樹的性質，需要對其進行旋轉處理*/while (pParent){// 更新雙親的平衡因子if (pCur == pParent->_pLeft)pParent->_bf--;elsepParent->_bf++;// 更新后檢測雙親的平衡因子if (0 == pParent->_bf){break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf){// 插入前雙親的平衡因子是0，插入后雙親的平衡因為為1 或者 -1 ，說明以雙親為根的二叉樹// 的高度增加了一層，因此需要繼續向上調整pCur = pParent;pParent = pCur->_pParent;}else{// 雙親的平衡因子為正負2，違反了AVL樹的平衡性，需要對以pParent// 為根的樹進行旋轉處理if (2 == pParent->_bf){// ...}else{// ...}}}return true;}};

2.4 -> AVL樹的旋轉

如果在一棵原本是平衡的AVL樹中插入一個新節點，可能造成不平衡，此時必須調整樹的結構，使之平衡化。根據節點插入位置的不同，AVL樹的旋轉分為四種：

1. 新節點插入較高左子樹的左側——左左：右單旋

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 該節點的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 該節點的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 該節點的雙親T _data;int _bf;				  // 該節點的平衡因子bool Insert(const T& data){// 1. 先按照二叉搜索樹的規則將節點插入到AVL樹中// 2. 新節點插入后，AVL樹的平衡性可能會遭到破壞，//	  此時就需要更新平衡因子，并檢測是否破壞了AVL樹的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要調整，在插入之前，pParent的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：1. 如果pCur插入到pParent的左側，只需給pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右側，只需給pParent的平衡因子+1即可此時：pParent的平衡因子可能有三種情況：0，正負1， 正負21. 如果pParent的平衡因子為0，說明插入之前pParent的平衡因子為正負1，插入后被調整成0，此時滿足AVL樹的性質，插入成功2. 如果pParent的平衡因子為正負1，說明插入前pParent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負1，此時以pParent為根的樹的高度增加，需要繼續向上更新3. 如果pParent的平衡因子為正負2，則pParent的平衡因子違反平衡樹的性質，需要對其進行旋轉處理*/while (pParent){// 更新雙親的平衡因子if (pCur == pParent->_pLeft)pParent->_bf--;elsepParent->_bf++;// 更新后檢測雙親的平衡因子if (0 == pParent->_bf){break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf){// 插入前雙親的平衡因子是0，插入后雙親的平衡因為為1 或者 -1 ，說明以雙親為根的二叉樹// 的高度增加了一層，因此需要繼續向上調整pCur = pParent;pParent = pCur->_pParent;}else{// 雙親的平衡因子為正負2，違反了AVL樹的平衡性，需要對以pParent// 為根的樹進行旋轉處理if (2 == pParent->_bf){// ...}else{// ...}}}return true;}/*在插入前，AVL樹是平衡的，新節點插入到30的左子樹(注意：此處不是左孩子)中，30左子樹增加了一層，導致以60為根的二叉樹不平衡，要讓60平衡，只能將60左子樹的高度減少一層，右子樹增加一層，即將左子樹往上提，這樣60轉下來，因為60比30大，只能將其放在30的右子樹，而如果30有右子樹，右子樹根的值一定大于30，小于60，只能將其放在60的左子樹，旋轉完成后，更新節點的平衡因子即可。在旋轉過程中，有以下幾種情況需要考慮：1. 30節點的右孩子可能存在，也可能不存在2. 60可能是根節點，也可能是子樹如果是根節點，旋轉完成后，要更新根節點如果是子樹，可能是某個節點的左子樹，也可能是右子樹*/void _RotateR(PNode pParent){// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋轉完成之后，30的右孩子作為雙親的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新親雙親if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作為 30的右孩子pSubL->_pRight = pParent;// 因為60可能是棵子樹，因此在更新其雙親前必須先保存60的雙親PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的雙親pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的雙親pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根節點，根新指向根節點的指針if (NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子樹，可能是其雙親的左子樹，也可能是右子樹if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根據調整后的結構更新部分節點的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;}
};

2. 新節點插入較高右子樹的右側——右右：左單旋

實現參考右單旋。

3. 新節點插入較高左子樹的右側——左右：先左單旋再右單旋

將雙旋變成單旋后再旋轉，即：先對30進行左單旋，然后再對90進行右單旋，旋轉完成后再考慮平衡因子的更新。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 該節點的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 該節點的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 該節點的雙親T _data;int _bf;				  // 該節點的平衡因子bool Insert(const T& data){// 1. 先按照二叉搜索樹的規則將節點插入到AVL樹中// 2. 新節點插入后，AVL樹的平衡性可能會遭到破壞，//	  此時就需要更新平衡因子，并檢測是否破壞了AVL樹的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要調整，在插入之前，pParent的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：1. 如果pCur插入到pParent的左側，只需給pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右側，只需給pParent的平衡因子+1即可此時：pParent的平衡因子可能有三種情況：0，正負1， 正負21. 如果pParent的平衡因子為0，說明插入之前pParent的平衡因子為正負1，插入后被調整成0，此時滿足AVL樹的性質，插入成功2. 如果pParent的平衡因子為正負1，說明插入前pParent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負1，此時以pParent為根的樹的高度增加，需要繼續向上更新3. 如果pParent的平衡因子為正負2，則pParent的平衡因子違反平衡樹的性質，需要對其進行旋轉處理*/while (pParent){// 更新雙親的平衡因子if (pCur == pParent->_pLeft)pParent->_bf--;elsepParent->_bf++;// 更新后檢測雙親的平衡因子if (0 == pParent->_bf){break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf){// 插入前雙親的平衡因子是0，插入后雙親的平衡因為為1 或者 -1 ，說明以雙親為根的二叉樹// 的高度增加了一層，因此需要繼續向上調整pCur = pParent;pParent = pCur->_pParent;}else{// 雙親的平衡因子為正負2，違反了AVL樹的平衡性，需要對以pParent// 為根的樹進行旋轉處理if (2 == pParent->_bf){// ...}else{// ...}}}return true;}//1. 新節點插入較高左子樹的左側——左左：右單旋/*在插入前，AVL樹是平衡的，新節點插入到30的左子樹(注意：此處不是左孩子)中，30左子樹增加了一層，導致以60為根的二叉樹不平衡，要讓60平衡，只能將60左子樹的高度減少一層，右子樹增加一層，即將左子樹往上提，這樣60轉下來，因為60比30大，只能將其放在30的右子樹，而如果30有右子樹，右子樹根的值一定大于30，小于60，只能將其放在60的左子樹，旋轉完成后，更新節點的平衡因子即可。在旋轉過程中，有以下幾種情況需要考慮：1. 30節點的右孩子可能存在，也可能不存在2. 60可能是根節點，也可能是子樹如果是根節點，旋轉完成后，要更新根節點如果是子樹，可能是某個節點的左子樹，也可能是右子樹*/void _RotateR(PNode pParent){// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋轉完成之后，30的右孩子作為雙親的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新親雙親if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作為 30的右孩子pSubL->_pRight = pParent;// 因為60可能是棵子樹，因此在更新其雙親前必須先保存60的雙親PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的雙親pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的雙親pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根節點，根新指向根節點的指針if (NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子樹，可能是其雙親的左子樹，也可能是右子樹if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根據調整后的結構更新部分節點的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;}//3. 新節點插入較高左子樹的右側——左右：先左單旋再右單旋// 旋轉之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋轉完成之后，根據情況對其他節點的平衡因子進行調整void _RotateLR(PNode pParent){PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋轉之前，保存pSubLR的平衡因子，旋轉完成之后，需要根據該平衡因子來調整其他節點的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 先對30進行左單旋_RotateL(pParent->_pLeft);// 再對90進行右單旋_RotateR(pParent);if (1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)pParent->_bf = 1;}};

4. 新節點插入較高右子樹的左側——右左：先右單旋再左單旋

參考左右雙旋。

總結：

假如以pParent為根的子樹不平衡，即pParent的平衡因子為2或者-2，分為以下情況考慮：

1. pParent的平衡因子為2，說明pParent的右子樹高，設pParent的右子樹的根為pSubR。

當pSubR的平衡因子為1時，執行左單旋。
當pSubR的平衡因子為-1時，執行右左單旋。

2.?pParent的平衡因子為-2，說明pParent的左子樹高，設pParent的左子樹的根為pSubL。

當pSubL的平衡因子為-1時，執行右單旋。
當pSubL的平衡因子為1時，執行左右單旋。

旋轉完成后，原pParent為根的子樹高度降低，已經平衡，不需要再向上更新。

2.5 -> AVL樹的驗證

AVL樹是在二叉搜索樹的基礎上加入了平衡性的限制，因此要驗證AVL樹，可以分為兩步：

1. 驗證其為二叉搜索樹

????????如果中序遍歷可以得到一個有序的序列，就說明其為二叉搜索樹。

2. 驗證其為平衡樹

每個節點子樹高度差的絕對值不超過1(注意節點中如果沒有平衡因子)。
節點的平衡因子是否計算正確。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 該節點的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 該節點的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 該節點的雙親T _data;int _bf;				  // 該節點的平衡因子bool Insert(const T& data){// 1. 先按照二叉搜索樹的規則將節點插入到AVL樹中// 2. 新節點插入后，AVL樹的平衡性可能會遭到破壞，//	  此時就需要更新平衡因子，并檢測是否破壞了AVL樹的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要調整，在插入之前，pParent的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：1. 如果pCur插入到pParent的左側，只需給pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右側，只需給pParent的平衡因子+1即可此時：pParent的平衡因子可能有三種情況：0，正負1， 正負21. 如果pParent的平衡因子為0，說明插入之前pParent的平衡因子為正負1，插入后被調整成0，此時滿足AVL樹的性質，插入成功2. 如果pParent的平衡因子為正負1，說明插入前pParent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負1，此時以pParent為根的樹的高度增加，需要繼續向上更新3. 如果pParent的平衡因子為正負2，則pParent的平衡因子違反平衡樹的性質，需要對其進行旋轉處理*/while (pParent){// 更新雙親的平衡因子if (pCur == pParent->_pLeft)pParent->_bf--;elsepParent->_bf++;// 更新后檢測雙親的平衡因子if (0 == pParent->_bf){break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf){// 插入前雙親的平衡因子是0，插入后雙親的平衡因為為1 或者 -1 ，說明以雙親為根的二叉樹// 的高度增加了一層，因此需要繼續向上調整pCur = pParent;pParent = pCur->_pParent;}else{// 雙親的平衡因子為正負2，違反了AVL樹的平衡性，需要對以pParent// 為根的樹進行旋轉處理if (2 == pParent->_bf){// ...}else{// ...}}}return true;}//1. 新節點插入較高左子樹的左側——左左：右單旋/*在插入前，AVL樹是平衡的，新節點插入到30的左子樹(注意：此處不是左孩子)中，30左子樹增加了一層，導致以60為根的二叉樹不平衡，要讓60平衡，只能將60左子樹的高度減少一層，右子樹增加一層，即將左子樹往上提，這樣60轉下來，因為60比30大，只能將其放在30的右子樹，而如果30有右子樹，右子樹根的值一定大于30，小于60，只能將其放在60的左子樹，旋轉完成后，更新節點的平衡因子即可。在旋轉過程中，有以下幾種情況需要考慮：1. 30節點的右孩子可能存在，也可能不存在2. 60可能是根節點，也可能是子樹如果是根節點，旋轉完成后，要更新根節點如果是子樹，可能是某個節點的左子樹，也可能是右子樹*/void _RotateR(PNode pParent){// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋轉完成之后，30的右孩子作為雙親的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新親雙親if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作為 30的右孩子pSubL->_pRight = pParent;// 因為60可能是棵子樹，因此在更新其雙親前必須先保存60的雙親PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的雙親pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的雙親pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根節點，根新指向根節點的指針if (NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子樹，可能是其雙親的左子樹，也可能是右子樹if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根據調整后的結構更新部分節點的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;}//3. 新節點插入較高左子樹的右側——左右：先左單旋再右單旋// 旋轉之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋轉完成之后，根據情況對其他節點的平衡因子進行調整void _RotateLR(PNode pParent){PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋轉之前，保存pSubLR的平衡因子，旋轉完成之后，需要根據該平衡因子來調整其他節點的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 先對30進行左單旋_RotateL(pParent->_pLeft);// 再對90進行右單旋_RotateR(pParent);if (1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)pParent->_bf = 1;}//驗證是否為AVL樹int _Height(PNode pRoot);bool _IsBalanceTree(PNode pRoot){// 空樹也是AVL樹if (nullptr == pRoot) return true;// 計算pRoot節點的平衡因子：即pRoot左右子樹的高度差int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果計算出的平衡因子與pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的絕對值超過1，則一定不是AVL樹if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL樹，則該樹一定是AVL樹return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);}};

2.6 -> AVL樹的性能

AVL樹是一棵絕對平衡的二叉搜索樹，其要求每個節點的左右子樹高度差的絕對值都不超過1，這樣可以保證查詢時高效的時間復雜度，即O(n)。但是如果要對AVL樹做一些結構修改的操作，性能非常低下，比如：插入時要維護其絕對平衡，旋轉的次數比較多，更差的是在刪除時，有可能一直要讓旋轉持續到根的位置。因此：如果需要一種查詢高效且有序的數據結構，而且數據的個數為靜態的(即不會改變)，可以考慮AVL樹。

感謝各位大佬支持！！！

互三啦！！！