Z檢驗與T檢驗全解析：原理、區別與實際案例

統計學的核心任務之一，就是通過有限的樣本數據去推斷總體特征。在這一過程中，假設檢驗成為了最常見的工具。而在眾多檢驗方法中，Z檢驗與T檢驗幾乎是入門必學，也是應用最廣泛的兩種方法。
那么，這兩種檢驗到底有什么區別？在實際應用中該如何選擇？今天，我們就從概念、公式、案例到常見誤區，帶大家系統理解 Z檢驗與T檢驗。

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一、Z檢驗與T檢驗的基本概念

1. Z檢驗

Z檢驗基于標準正態分布（均值為0，方差為1），適用于以下場景：

• 總體標準差已知時，檢驗單個樣本均值是否與總體均值有顯著差異；
• 比較兩個獨立樣本的均值差異（雙樣本Z檢驗）；
• 比較兩個樣本的比例差異（比例Z檢驗）。

公式（單樣本均值檢驗）：

$$z=\frac{\bar{x}?{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{x}$：樣本均值
• ${\mu }_0$：原假設的總體均值
• $\sigma$：總體標準差
• $n$：樣本量

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2. T檢驗

T檢驗基于t分布，特別適合在總體標準差未知時使用。適用場景包括：

• 總體標準差未知時的單樣本均值檢驗；
• 兩個獨立樣本均值差異檢驗（雙樣本T檢驗）；
• 配對樣本均值差異檢驗（配對T檢驗）。

公式（單樣本均值檢驗）：

$$t=\frac{\bar{x}?{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$

其中：

• $s$：樣本標準差（用來估計總體標準差）。

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3. 關鍵區別一覽表

特征	Z檢驗	T檢驗
總體標準差	必須已知	可以未知，用樣本標準差估計
分布	標準正態分布	t分布（取決于自由度）
樣本量	一般要求大樣本（n ≥ 30）	可適用于各種樣本量，尤其是小樣本
尾部	較薄	較厚，更保守
應用場景	均值或比例檢驗	均值檢驗（單樣本、雙樣本、配對樣本）

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二、典型案例分析

下面通過幾個實際案例，直觀感受 Z檢驗與 T檢驗的使用場景和差異。

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案例1：單樣本均值檢驗（外賣培訓效果評估）

背景：
公司平均外送時間為 40 分鐘，歷史數據顯示總體標準差為 5 分鐘。
現在對 50 名參加新培訓的外送員抽樣，平均外送時間為 38 分鐘，樣本標準差也是 5 分鐘。
問題：培訓是否顯著減少外送時間？

分析步驟：

1. 設定假設

• H?：μ = 40（培訓無效）
• H?：μ < 40（培訓有效）

2. 檢驗方法選擇
   總體標準差已知 → 使用 Z檢驗。

3. 計算Z值

$$z=\frac{38?40}{5/\sqrt{50}}=?2.828$$

4. 結果
   查標準正態分布表，p = 0.0023 < 0.05 → 拒絕H?。
   結論：培訓顯著減少外送時間。

如果總體標準差未知：
使用 T檢驗（df = 49），t = -2.828，p ≈ 0.0034，結論相同但更保守。

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案例2：雙樣本均值檢驗（網頁背景色效果）

背景：
公司測試網頁背景顏色是否影響用戶停留時間。

• A組（灰色背景）：40人，均值 300s，標準差 18.5s
• B組（綠色背景）：38人，均值 305s，標準差 16.7s

分析步驟：

1. 設定假設

• H?：μA = μB（顏色無影響）
• H?：μA ≠ μB（顏色有影響）

2. 檢驗方法選擇
   總體標準差未知 → 使用雙樣本 T檢驗。

3. 結果
   t = -1.2508，p = 0.2148 > 0.05 → 不拒絕H?。
   結論：顏色改變對用戶停留時間無顯著影響。

如果假設總體標準差已知：
使用 Z檢驗，z = 1.32，p = 0.1867。結論相同，但 Z檢驗 p 值略小。

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案例3：比例檢驗（員工滿意度比較）

背景：
比較倫敦與北京辦事處的員工滿意度比例。

• 倫敦：150人中 93 人滿意 (p? = 0.62)
• 北京：160人中 80 人滿意 (p? = 0.50)

分析步驟：

1. 設定假設

• H?：π? = π?（滿意度無差異）
• H?：π? ≠ π?（有差異）

2. 檢驗方法選擇
   比例比較 → 使用雙樣本 Z檢驗。

3. 計算Z值
   合并比例：

$$p=\frac{93+80}{150+160}=0.558$$

$$z=\frac{0.62?0.50}{\sqrt{0.558\times 0.442\times (\frac{1}{150}+\frac{1}{160})}}=1.03$$

4. 結果
   p = 0.3030 > 0.05 → 不拒絕H?。
   結論：兩地滿意度無顯著差異。

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三、檢驗方法選擇指南

在實際應用中，如何快速判斷用 Z 檢驗還是 T 檢驗？

1. 均值檢驗

• 總體標準差已知 → 用 Z 檢驗
• 總體標準差未知 → 用 T 檢驗
• 樣本量很大（n ≥ 30） → Z 和 T 結果接近
• 樣本量小（n < 30） → 必須用 T 檢驗

2. 比例檢驗

• 一律用 Z 檢驗（比例的標準誤差可直接由比例計算）

3. 配對數據

• 必須用配對 T 檢驗（適用于前后對比實驗）

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四、常見誤區與澄清

1. “樣本量大就用Z檢驗”
   ? 錯誤。關鍵在于是否知道總體標準差。如果未知，即便樣本量大，也應使用 T 檢驗。

2. “Z檢驗和T檢驗結果總是一樣”
   ? 錯誤。只有在大樣本時，T 分布趨近于正態分布，兩者結果才接近。小樣本時，T 檢驗更保守，p 值會更大。

3. “比例檢驗也能用T檢驗”
   ? 錯誤。比例檢驗只能用 Z 檢驗，因為比例的標準差公式與 T 檢驗不匹配。

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五、實際應用建議

• 商業決策

  • 新產品 A/B 測試 → 雙樣本 T 檢驗
  • 廣告轉化率比較 → 比例 Z 檢驗

• 科研實驗

  • 小樣本藥物實驗 → 單樣本或雙樣本 T 檢驗
  • 同一組前后對比 → 配對 T 檢驗

• 質量管控

  • 歷史標準差已知 → Z 檢驗（監控生產過程均值）
  • 標準差未知 → T 檢驗（基于樣本推斷）

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六、總結

• Z檢驗：基于標準正態分布，適用于總體標準差已知的場景，常用于大樣本或比例檢驗。
• T檢驗：基于 t 分布，適用于總體標準差未知，尤其適合小樣本。
• 選擇關鍵：是否已知總體標準差 & 樣本量大小。

通過本文的案例對比，相信你已經能在面對不同問題時，快速判斷該用 Z 檢驗還是 T 檢驗。正確選擇方法，才能做出可靠的統計推斷。