以下是關系代數中基本操作的詳細說明：

并（Union）

關系R和S的并操作表示為R ∪ S，要求R和S具有相同的屬性集（并相容性）。結果包含所有屬于R或S的元組，自動去除重復項。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R ∪ S = {(1,A), (2,B), (3,C)}

交（Intersection）

關系R和S的交操作表示為R ∩ S，結果包含同時屬于R和S的元組。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R ∩ S = {(2,B)}

差（Difference）

關系R和S的差操作表示為R - S，結果包含屬于R但不屬于S的元組。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R - S = {(1,A)}

笛卡爾積（Cartesian Product）

關系R和S的笛卡爾積表示為R × S，生成所有可能的元組組合。若R有m個元組，S有n個元組，結果將包含m×n個元組。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(X,10), (Y,20)}
• R × S = {(1,A,X,10), (1,A,Y,20), (2,B,X,10), (2,B,Y,20)}

投影（Projection）

投影操作表示為π?(R)，從關系R中選擇指定屬性子集A，并去除重復元組。

示例：

• R = {(1,A,X), (2,B,Y), (1,A,Z)}
• π_{1,2}(R) = {(1,A), (2,B)}

選擇（Selection）

選擇操作表示為σ?(R)，根據條件P篩選關系R中的元組。條件P可以是邏輯表達式（如A=1 AND B='X'）。

示例：

• R = {(1,A,X), (2,B,Y), (3,A,Z)}
• σ_{A='A'}(R) = {(1,A,X), (3,A,Z)}

這些基本操作構成了關系數據庫查詢的理論基礎，更復雜的查詢可以通過這些操作的組合來實現。

自然連接

自然連接的結果顯示全部的屬性列，但是相同屬性列只顯示一次，顯示兩個關系模式中屬性相同并且值相同的記錄。