一階線性雙曲型偏微分方程組的特征值與通解分析

問題3

求系統 $U_u + A U_x = 0$ 的特征并寫出通解，其中矩陣 $A$ 如下：

$A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},$

$A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_4 = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},$

$A_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.$

解答

系統為 $\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial u} + A \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} = 0$ ，其中 $\mathbf{U} = (u_1, u_2, u_3)^T$ 是向量函數， $u$ 和 $x$ 是自變量。

特征：指矩陣 $A$ 的特征值 $\lambda$ ，它們決定了特征曲線的方向。特征曲線由方程 $\lambda u = \text{常數}$ 給出。
通解：通過求解特征值問題和對角化（或類似方法）得到。通解形式為 $\mathbf{U}(u, x) = \sum_{k} f_k(x - \lambda_k u) \mathbf{v}_k$ ，其中 $\lambda_k$ 是特征值， $\mathbf{v}_k$ 是相應的特征向量， $f_k$ 是任意可微函數。

下面針對每個矩陣 $A$ 求解特征值并寫出通解。

1. 對于 $A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

特征值： $\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 1$ （全部實數且互異）。
特征向量：
- $\lambda_1 = 3$ : $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- $\lambda_2 = 2$ : $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
- $\lambda_3 = 1$ : $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
通解：
$\mathbf{U}(u, x) = f_1(x - 3u) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + f_2(x - 2u) \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + f_3(x - u) \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
即分量形式：
$\begin{cases} u_1(u, x) = f_1(x - 3u) - 2 f_2(x - 2u) + f_3(x - u) \\ u_2(u, x) = f_2(x - 2u) - 2 f_3(x - u) \\ u_3(u, x) = 2 f_3(x - u) \end{cases}$

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