內容摘要

本文深入剖析主成分分析（PCA）技術。介紹其通過正交變換簡化數據維度的核心原理，詳細推導基于最小投影距離和最大投影方差的算法過程，總結算法流程步驟。全面分析PCA的優缺點，并對比其與KPCA的差異。同時闡述降維的必要性和目的，助力讀者系統掌握PCA技術及其在數據處理中的應用。

關鍵詞：主成分分析；降維；協方差矩陣；特征值分解

一、引言

在機器學習和數據處理領域，數據的高維度常常帶來諸多挑戰，如計算復雜度增加、數據稀疏性問題以及過擬合風險提高等。主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）作為一種強大的降維技術，能夠有效地將高維數據轉換為低維數據，同時最大程度保留數據的關鍵信息。本文將深入探討PCA的原理、算法、優缺點以及其在實際應用中的價值。

二、PCA核心思想

2.1 解決數據特征問題

在處理訓練數據時，經常會面臨數據特征過多或特征累贅的問題。PCA的核心思想是將m維特征映射到n維（n<m），這n維形成的主元是重構出來最能代表原始數據的正交特征。通過這種方式，PCA可以去除數據中的冗余信息，簡化數據結構，使得后續的數據分析和處理更加高效。

2.2 核心思想圖解

假設數據集中包含m個n維數據，現在需要將其降維到n’維。以n=2，n’=1為例，我們要在眾多維度方向中找到一個最能代表原始數據集的方向。

如圖1所示，有$u_1$、$u_2$兩個向量方向，從圖中可以直觀地看出，$u_1$比$u_2$更適合代表原始數據集。這是基于兩個主要評價指標：

1. 樣本點到這個直線的距離足夠近。
2. 樣本點在這個直線上的投影能盡可能分開。

如果需要降維的目標維數是其他任意維，則評價指標相應變為：

1. 樣本點到這個超平面的距離足夠近。
2. 樣本點在這個超平面上的投影能盡可能分開。

三、PCA算法推理

3.1 基于最小投影距離的推理

假設數據集中包含m個n維數據，且數據進行了中心化。經過投影變換得到的新坐標為$z^{(i)}=w^T{x}^{(i)}$，其中w是標準正交基。如果我們將數據從n維降到n’維，經過降維后，新坐標為$Z=[z^{(1)},z^{(2)},?,z^{(m)}{]}^T$。樣本點$x^{(i)}$在新坐標系下的投影為${\tilde{x}}^{(i)}=W{z}^{(i)}$。

要想使樣本點到超平面的距離足夠近，目標是最小化${\sum }_{i=1}^m{\Vert {\tilde{x}}^{(i)}?x^{(i)}\Vert }_2^2$。對此式進行推理，可得：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^m{\Vert {\tilde{x}}^{(i)}?x^{(i)}\Vert }_2^2& =\sum _{i=1}^m{\Vert W{z}^{(i)}?x^{(i)}\Vert }_2^2\\ & =\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T\left(W{z}^{(i)}\right)?2\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}\\ & =\sum _{i=1}^m{\left(z^{(i)}\right)}^T\left(z^{(i)}\right)?2\sum _{i=1}^m{\left(z^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}\\ & =?tr\left(W^T{\left(\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}\right)}^T\left(z^{(i)}\right)+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}\right)\\ & =?tr\left(W^T\left(\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^T\right)W\right)\end{array}$$
在推導過程中，分別用到了矩陣轉置公式以及矩陣的跡，最后兩步是將代數和轉為矩陣形式。

由于W的每一個向量$w_j$是標準正交基，$S=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^T$是數據集的協方差矩陣，${\sum }_{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}$是一個常量。最小化${\sum }_{i=1}^m{\Vert {\tilde{x}}^{(i)}?x^{(i)}\Vert }_2^2$又可等價于：
$$\underset{W}{\underbrace{argmin}}?tr\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)$$$$s.t.W^{T}W=I$$
利用拉格朗日函數可得到：
$$J(W)=?tr\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)+\lambda \left(W^{T}W?I\right)$$
對w求導，可得$?X{X}^{T}W+\lambda W=0$，即$X{X}^{T}W=\lambda W$。$X{X}^T$是由n’個特征向量組成的矩陣，λ為$X{X}^T$的特征值。w即為我們想要的矩陣。

3.2 基于最大投影方差的推導

基于最大投影方差的推導過程較為復雜，本文不再贅述，感興趣的讀者可自行查閱資料。

四、PCA算法流程總結

PCA算法的輸入為n維樣本集$X=[x^{(1)},x^{(2)},?,x^{(m)}]$，目標降維維數為n’；輸出為降維后的新樣本集$Y$。主要步驟如下：

1. 對所有的樣本進行中心化，使得數據的均值為0。
2. 計算樣本的協方差矩陣$X{X}^T$，協方差矩陣能同時表現不同維度間的相關性及各個維度上的方差。
3. 對協方差矩陣$X{X}^T$進行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 取出最大的n’個特征值對應的特征向量，這些特征向量將構成新的低維空間的基。
5. 標準化特征向量，得到特征向量矩陣w，確保其具有良好的數學性質。
6. 轉化樣本集中的每個樣本，將原始樣本投影到新的低維空間中。
7. 得到輸出新樣本集，完成降維操作。

在降維時，有時不明確目標維數，而要指定降維后的主成分比重閾值$k(k\in (0,1])$。假設n個特征值為${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$，則n*可從$\frac{{\sum }_{i=1}^{n^{?}}{\lambda }_i}{{\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i}\ge k$得到。

五、PCA思想總結

PCA本質上是將高維數據通過線性變換投影到低維空間的過程。在這個過程中，它去除了可以被其他向量代表的線性相關向量，以及較小特征值對應的特征向量，從而找出最能代表原始數據的投影方法。

完成PCA的關鍵是求解協方差矩陣。對角化后的協方差矩陣，對角線上較小的新方差對應的就是那些該去掉的維度，所以取那些含有較大能量（特征值）的維度即可，其余的就舍掉，實現去冗余的目的。

六、PCA算法的優缺點

6.1 優點

1. 僅僅需要以方差衡量信息量，不受數據集以外的因素影響，計算相對簡單直接。
2. 各主成分之間正交，可消除原始數據成分間相互影響的因素，使得數據結構更加清晰。
3. 計算方法主要運算是特征值分解，易于實現，在許多編程語言和機器學習庫中都有現成的實現方法。

6.2 缺點

1. 主成分各個特征維度的含義具有一定的模糊性，不如原始樣本特征的解釋性強，這給后續的數據分析和理解帶來一定困難。
2. 方差小的非主成分也可能含有樣本的重要信息，因降維去冗余可能對后續數據處理有影響，導致部分有用信息丟失。

七、降維的必要性及目的

7.1 必要性

1. 避免多重共線性和預測變量之間相互關聯。多重共線性會導致解空間的不穩定，從而可能導致結果的不連貫，影響模型的準確性和可靠性。
2. 高維空間本身具有稀疏性。例如，一維正態分布有68%的值落于正負標準差之間，而在十維空間上只有2%，數據的稀疏性使得在高維空間中進行數據分析和建模變得更加困難。
3. 避免過多的變量對查找規律造成冗余麻煩，增加計算復雜度和分析難度。
4. 僅在變量層面上分析可能會忽略變量之間的潛在聯系，而降維可以幫助發現這些潛在聯系。

7.2 目的

1. 減少預測變量的個數，簡化數據結構，提高模型的訓練效率和泛化能力。
2. 確保這些變量是相互獨立的，降低變量之間的相關性，提高模型的穩定性。
3. 提供一個框架來解釋結果，相關特征，特別是重要特征更能在數據中明確顯示出來；如果只有二維或者三維的話，就更便于可視化展示，幫助用戶更好地理解數據。
4. 數據在低維下更容易處理、使用，降低計算成本和存儲需求。
5. 去除數據噪聲，提高數據的質量和可靠性。
6. 降低算法運算開銷，使得模型能夠在更短的時間內完成訓練和預測任務。

八、KPCA與PCA的區別

KPCA（Kernelized PCA）用到了核函數思想，使用了核函數的主成分分析一般稱為核主成分分析。應用PCA算法的前提是假設存在一個線性超平面，進而投影。如果數據不是線性的，這時就需要用到KPCA。

KPCA將數據集從n維映射到線性可分的高維N（N>n），然后再從N維降維到一個低維度n’（n’<n<N）。假設高維空間數據由n維空間的數據通過映射?產生，n維空間的特征分解為：
$$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^{T}W=\lambda W$$
其映射為：
$$\sum _{i=1}^m?\left(x^{(i)}\right)?{\left(x^{(i)}\right)}^{T}W=\lambda W$$
KPCA通過在高維空間進行協方差矩陣的特征值分解，然后用和PCA一樣的方法進行降維。由于KPCA需要核函數的運算，因此它的計算量要比PCA大很多。

九、總結

主成分分析（PCA）是一種重要的降維技術，在數據處理、機器學習等領域有著廣泛的應用。本文詳細介紹了PCA的核心思想、算法推理、流程總結、思想總結、優缺點以及與KPCA的區別，同時闡述了降維的必要性和目的。希望讀者通過本文的學習，能夠對PCA有更深入的理解和掌握，在實際工作中靈活運用這一技術解決數據處理和分析的相關問題。