目錄
一、問題背景與描述
二、問題分析與核心思路
2.1 問題本質：統計與配對優化
2.2 關鍵觀察
2.3 數學建模
三、算法設計與實現步驟
3.1 算法步驟
3.2 代碼實現（Python）
3.3 優化點分析
四、關鍵細節與常見誤區
4.1 細節處理
4.2 常見誤區
六、總結與應用
6.1 解題核心
6.2 實際應用場景
6.3 代碼優化建議
一、問題背景與描述
在藍橋杯的算法競賽中，分組問題一直是考察邏輯思維與算法設計的經典題型。今天我們將深入探討一個關于班級活動分組的優化問題：
題目描述
小明的老師需要將班級中的n名同學（n為偶數）分成兩人一組。每位同學被隨機分配了一個不超過n的ID。老師希望通過修改最少數量的ID，使得最終每個ID恰好出現兩次。例如，若初始ID序列為[1,2,2,3]，則只需修改其中一個ID為3或1即可滿足條件。
輸入格式
- 第一行：正整數n（班級人數）
- 第二行：n個整數a1,a2,…,an（各同學的初始ID）
輸出格式
輸出需要修改的最少ID數量。
二、問題分析與核心思路
2.1 問題本質：統計與配對優化
該問題的核心在于將所有ID的出現次數調整為偶數，并且每個ID的出現次數恰好為2的倍數（因為每組兩人）。因此，我們需要解決以下兩個關鍵點：
- 統計ID的出現次數：統計每個ID出現的次數。
- 最小化修改次數：通過調整某些ID的值，使得所有ID的出現次數均為偶數。
2.2 關鍵觀察
- 奇數次出現的ID需要調整：如果某個ID出現奇數次，則必須修改其中一個實例，使其變為另一個ID，從而將奇數次轉化為偶數次。
- 配對原則：每個奇數次的ID需要與其他奇數次的ID配對。例如，若ID1出現3次，ID2出現5次，則可以通過將其中一個ID1改為ID2，或其中一個ID2改為ID1，從而將兩者的奇數次轉化為偶數次。
2.3 數學建模
假設所有ID的出現次數中，共有m個ID出現奇數次。則：
- 每對奇數次的ID需要一次修改：每兩個奇數次的ID可以通過一次修改（將其中一個改為另一個）來消除奇數次的問題。
- 總修改次數為m/2：因為每對奇數次的ID需要一次修改，因此總修改次數為奇數次ID數量的一半。
三、算法設計與實現步驟
3.1 算法步驟
- 統計頻率：使用哈希表或數組記錄每個ID的出現次數。
- 統計奇數次ID的數量：遍歷所有ID的計數，統計出現奇數次的ID數量m。
- 計算最小修改次數：最終結果為m/2。
3.2 代碼實現（Python）
def min_changes(n, ids):from collections import defaultdictcount = defaultdict(int)for num in ids:count[num] += 1odd_count = 0for v in count.values():if v % 2 != 0:odd_count += 1return odd_count // 2# 示例輸入
n = 4
ids = [1, 2, 2, 3]
print(min_changes(n, ids)) # 輸出13.3 優化點分析
- 時間復雜度：O(n)，遍歷兩次數組即可完成統計。
- 空間復雜度：O(k)，其中k是不同ID的數量，通常遠小于n。
四、關鍵細節與常見誤區
4.1 細節處理
- ID范圍的限制：題目要求ID為n以內的正整數，但修改后的ID可以是任意值（只要最終滿足條件）。因此，無需考慮ID的具體數值，只需關注奇偶性。
- 偶數次的處理：如果某個ID出現偶數次，無需修改，但若其出現次數超過2次（如4次），則需要調整為2次。例如，若ID1出現4次，可以通過修改兩個ID1為其他ID，但這一步是否必要？
4.2 常見誤區
-
誤區1：認為出現次數超過2次的ID需要額外修改。
正確理解：只要次數為偶數即可，無需強制為2次。例如，出現4次的ID可以保留，只需調整其他ID的奇偶性。 -
誤區2：試圖直接調整到恰好2次。
正確策略：只需保證所有ID的出現次數為偶數，無需嚴格為2次。例如，若三個ID各出現2次，總人數為6，是合法的。
六、總結與應用
6.1 解題核心
該問題的核心在于：
- 奇偶性分析：通過統計奇數次的ID數量，直接得出最小修改次數。
- 配對思想：每兩個奇數次的ID通過一次修改即可消除奇數性。
6.2 實際應用場景
- 資源分配問題：例如將物品分配到偶數個組別。
- 數據清洗：確保數據集中的某些屬性滿足偶數條件。
6.3 代碼優化建議
- 使用數組而非哈希表：若ID范圍較小（如≤n），可用數組代替字典，提升性能。
- 空間優化：對于n≤1e5的情況，數組空間仍可接受。
import sysdef main():n = int(sys.stdin.readline())a_list = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))dp = [0] * 10 # dp[b] 表示以數字b結尾的最長接龍序列長度max_len = 0 # 記錄最長序列長度for num in a_list:b = num % 10 # 獲取末位數字a = num # 獲取首位數字while a >= 10:a = a // 10 # 循環直到得到首位數字# 更新dp數組new_len = dp[a] + 1if new_len > dp[b]:dp[b] = new_lenif dp[b] > max_len:max_len = dp[b]print(n - max_len)if __name__ == "__main__":main()
