用極點配置設計伺服系統

方法1-前饋修正

對于一個可控的系統，我們知道可以用極點配置來得到系統的動態響應指標，但是系統有時會存在較大的靜態誤差。

例如：

系統的狀態矩陣如下，試求取其階躍響應。

MATLAB 代碼如下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
step(sys0)
grid on

程序運行結果如下：

有上圖可知，原系統的動態響應性能很差，并且有較大的靜態誤差。

首先我們可以用極點配置，改善系統的動態特性。

MATLAB程序代碼入下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
[y0 t0]= step(sys0,12);
Co = ctrb(A,B);
m=rank(Co);    %% m=2 controllable
p=[-100 -200];
k=place(A,B,p);
sys1=ss(A-B*k,B,C,D);
[y1 t1]= step(sys1,12);
yyaxis left
plot(t0,y0);
yyaxis right
plot(t1,y1);
grid on
legend('原系統','極點配置后的新系統') 

程序運行結果如下：

有上圖可知，通過極點配置后，系統的動態特性得到了較好的改善，但是系統然后存在較大的靜態誤差。

有系統的狀態方程可知,系統達到穩態時：

如果我們可以在前饋對輸入進行濾波，那么我們可以消除靜態誤差，其方框圖如下所示：

結合上式，我們可求出：

例如，消除上述系統的靜態誤差。

MATLAB代碼如下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
p=[-100 -200];
k=place(A,B,p);
sys1=ss(A-B*k,B,C,D);
[y,t]=step(sys1,1);
y1=y*(-inv(C*inv(A-B*k)*B));
yyaxis left
plot(t,y)
grid on
yyaxis right
plot(t,y1)
legend('極點配置后的新系統','極點配置+消除靜態誤差的新系統') 

程序運行結果如下：

由上圖可知，通過極點配置和伺服控制，我們可以獲得很好的動態性能和靜態性能。

但是，實際過程中，我們很難得到精確的系統狀態矩陣，所以接下來會介紹另外一個方法來做伺服控制。

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