一、引言

橢圓曲線密碼學（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是現代公鑰密碼學的核心工具之一。
相比傳統的 RSA，ECC 可以用 更短的密鑰長度 提供 同等甚至更高的安全性，因此被廣泛應用于區塊鏈、TLS、移動設備加密等場景。

要理解 ECC，必須先了解它背后的數學結構 —— 橢圓曲線上的點運算。本文將從基礎開始，逐步介紹橢圓曲線的數學原理。

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二、橢圓曲線方程

一個橢圓曲線通常由如下方程表示：

$$y^2=x^3+ax+b$$

其中 $a,b$ 是常數，要求曲線 無奇異點（即沒有自相交和尖點），滿足：

$$4a^3+27b^2\ne 0$$

在實數范圍內，這條曲線看起來像一條光滑的對稱曲線：

• 關于 x 軸對稱
• 呈“S”形或“波浪”形

但在密碼學中，我們不會在實數范圍上研究，而是定義在 有限域 ${\mathbb{F}}_p$（模素數 $p$）上的橢圓曲線。

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三、有限域上的橢圓曲線

在有限域中，所有運算都取模 $p$：

$$y^2\equiv x^3+ax+b(\mathrm{mod}p)$$

例如：
選擇 $p=17,a=2,b=2$，曲線為：

$$y^2\equiv x^3+2x+2(\mathrm{mod}17)$$

我們可以枚舉 $x\in [0,16]$，找到滿足條件的點 $(x,y)$，這就是曲線上的點集。

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四、點運算（群結構）

ECC 的核心不是曲線方程本身，而是 曲線點上的運算規則。
橢圓曲線上的點（包括一個“無窮遠點” $O$）形成一個 群，支持以下運算：

1. 點加法 $P+Q$

   • 幾何直觀：過兩點作直線，直線與曲線相交于第三點 $R$，再取 $R$ 關于 x 軸的對稱點。
   • 特殊情況：$P=Q$ 時，用切線定義加法。

2. 點倍乘 $kP$

   • 相當于 $P+P+...+P$（共 $k$ 次）。
   • 在 ECC 中，公鑰計算就是 點倍乘。

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五、ECC 的安全性來源

• 容易：給定 $P$ 和整數 $k$，計算 $Q=kP$ 很快。
• 困難：給定 $P$ 和 $Q$，求 $k$ 很難（橢圓曲線離散對數問題，ECDLP）。

這種 單向性 是 ECC 的安全核心。

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六、Go 語言小實驗：有限域橢圓曲線點加法

下面我們用 Go 寫一個小程序，在有限域 $p=17$ 上實現橢圓曲線點加法。

package mainimport ("fmt""math/big"
)// 橢圓曲線參數: y^2 = x^3 + ax + b mod p
var p = big.NewInt(17)
var a = big.NewInt(2)
var b = big.NewInt(2)// 點結構
type Point struct {x, y *big.Intinf  bool // 是否是無窮遠點
}// 取模
func mod(v *big.Int) *big.Int {r := new(big.Int).Mod(v, p)if r.Sign() < 0 {r.Add(r, p)}return r
}// 逆元
func modInverse(v *big.Int) *big.Int {return new(big.Int).ModInverse(v, p)
}// 點加法
func add(P, Q Point) Point {// 處理無窮遠點if P.inf {return Q}if Q.inf {return P}var m *big.Intif P.x.Cmp(Q.x) == 0 && P.y.Cmp(Q.y) == 0 {// P == Q, 切線斜率num := new(big.Int).Mul(big.NewInt(3), new(big.Int).Mul(P.x, P.x))num.Add(num, a)den := new(big.Int).Mul(big.NewInt(2), P.y)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))} else {// P != Q, 直線斜率num := new(big.Int).Sub(Q.y, P.y)den := new(big.Int).Sub(Q.x, P.x)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))}m = mod(m)xr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, m), P.x), Q.x))yr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, new(big.Int).Sub(P.x, xr)), P.y))return Point{xr, yr, false}
}func main() {P := Point{big.NewInt(5), big.NewInt(1), false}Q := Point{big.NewInt(6), big.NewInt(3), false}R := add(P, Q)fmt.Printf("P=(%v,%v), Q=(%v,%v)\n", P.x, P.y, Q.x, Q.y)fmt.Printf("P+Q=(%v,%v)\n", R.x, R.y)
}

運行結果示例：

P=(5,1), Q=(6,3)
P+Q=(10,6)

說明在有限域上，橢圓曲線點運算是完全可行的。

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七、總結

本文介紹了橢圓曲線的數學基礎，包括：

• 橢圓曲線方程及有限域定義
• 點加法和點倍乘運算
• ECC 的安全來源 —— 橢圓曲線離散對數問題