LU分解求解線性方程組

$LU$ 分解

前言

$LU$ 分解由以下定理得以保證：

設 $\boldsymbol{A}$ 為 $n$ 階方陣，若其各界階順序主子式都不為 $0$ ，那么它可以
被唯一的上下三角矩陣積分解。

步驟

確定各矩陣形式 $\mathbf{A}=\mathbf{LU}$
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1} & l_{n2} & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{pmatrix}$

根據矩陣乘法得到，各個元素的計算公式：

Step 1：計算 $U$ 的第一行元素： $a_{1i}=u_{1i}$

Step 2:計算 $L$ 的第一列元素：
$a_{i1}=l_{i1}u_{11}$

Step 3:

根據給出的 $\mathbf{U}$ 的第 $1$ 行到第 $r ? 1$ 行與 $\mathbf{L}$ 的第 $1$ 列到第 $r ? 1$ 列求第 $r$ 行列元素：

$a_{ri}=\sum_{k=1}^{n}l_{rk}u_{ki}=\sum_{k=1}^{r-1}l_{rk}u_{ki}+u_{ri}$
$a_{ir}=\sum_{k=1}^{n}l_{ik}u_{kr}=\sum_{k=1}^{r-1}l_{ik}u_{kr}+l_{ir}u_{rr}$

然后使用換元法，逐步解決線性方程組的求解：

$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\Rightarrow \begin{cases} \mathbf{Ly}=\mathbf{b}\\ \mathbf{Ux}=\mathbf{y} \end{cases}$

例

請使用 $LU$ 分解方法求解線性方程組：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 \\ -11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$

解

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & & & \\ l_{21} & 1 & & \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & \\ l_{41} & l_{42} & l_{43} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} &u_{13} &u_{14} \\ & u_{22} &u_{23} & u_{24} \\ & & u_{33} &u_{34} \\ & & & u_{44} \end{pmatrix}$

注意到

對于系數矩陣第一行：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & & & \\ l_{21} & 1 & & \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & \\ l_{41} & l_{42} & l_{43} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3&0 &1 \\ & u_{22} &u_{23} & u_{24} \\ & & u_{33} &u_{34} \\ & & & u_{44} \end{pmatrix}$

對于系數矩陣第一列：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 3 & 1 & & \\ 1& l_{32} & l_{33} & \\ 1 & l_{42} & l_{43} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3&0 &1 \\ & u_{22} &u_{23} & u_{24} \\ & & u_{33} &u_{34} \\ & & & u_{44} \end{pmatrix}$

遞推得到：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 3 & 1 & & \\ 1& 2 & 1 & \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3&0 &1 \\ & -2 &1 & 2 \\ & & 1 &-2 \\ & & & 1 \end{pmatrix}$

做換元：

$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\Rightarrow \begin{cases} \mathbf{Ly}=\mathbf{b}\\ \mathbf{Ux}=\mathbf{y} \end{cases}$

得到：

$\mathbf{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

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