數學復習筆記 29 不定積分

前言

復習的時候時常復習一下以前復習的高數，溫故而知新，可以為師矣。現實生活中有非常多讓我難受的事情，賢者模式的時候也會對一些自己的行為嗤之以鼻，復習考研對其他三門科目都沒有學出來正反饋，只能從數學這兒找一點正反饋，聊以自慰罷了。今天開始，只有數學寫一些博客，因為其他的幾門科目，實際上我沒有任何理解，我就自己本地隨便寫寫算了。加油。今天突然感覺，沒什么大不了的，干就完了，很多事情。是。

3.1

這題主要是考察拐點，用不定積分包裝了一下而已。拐點要寫坐標。

3.2

原函數是求積分之后的函數，這個概念差點忘了。慢慢撿回來。這題就是理解一下概念，考研不可能考這個題的，太簡單了，考這個有點不尊重考研了。

3.3

這題翻車了，我有點難受。換元法啥的，稍微有點靈活。

3.4

這題實際上很難。積分符號和 d 緊挨著，可以直接消掉，原函數求導之后，是積分符號和 d 中間的部分，可以用這個來驗證等式是否成立。

3.5

前面有個積分表，我發現自己不能戀戰，實際上不是我在那里停留的時間越長，我就記得越牢固的，而是，高的復習頻率才是比較好的。積分表，導數表，真的能記住嗎。我到現在還是記不住，我真感覺廢完了。嗚嗚嗚。

記住積分表，這些題就可以秒殺，記不住積分表，這些題能把我秒了，大概就是對著積分表能寫得賊快，總之就是要記住積分表啊。

3.6

湊微分的基礎是積分表，然后就是熟練度，實際上自己熟練度沒啥問題，主要就是太無腦了，我害怕稍微需要一點思考的，自己就廢了。反正記憶是一件非常困難的事情，努力之后只能把剩下的交給運氣，別慫。

3.7

有點動不了筆，有點無奈了。不是積分表，也動不了筆，這真有點無奈了啊。看了答案恍然大悟，這基本廢了，因為考試的時候沒有答案給自己看。考試是限時的，考試是壓力非常大的，考試是緊張的，我平時訓練可能就要稍微仿真一下。可能一個經驗就是算一個部分的導數，看是否是這個部分的導數，就是說，求不定積分的時候，可以對比較復雜的部分求導數，這樣就可以湊微分，然后簡化計算了。

3.8

這題不難。

3.9

三角函數類型，好像是華羅庚什么的。我這里就叫做三角函數求導法算了。

3.10

這題很簡單。二倍角公式是記得住，還是每次要推導十秒鐘，高手是直接出來，像我這種低手是要推導十秒鐘，慢慢要瞬間反應，給自己一些時間，慢慢來。

3.11

難受啊。算錯了。還有一個要注意的點，寫在書上了。

3.12

換元法，我感覺還是刷的遍數不夠，另外在別人面前做題我很緊張，我擔心我寫不出來，并且大部分時候我都是寫不出來的。所以以后要加油。無腦地多刷幾遍就可以了。無所謂的。我肯定可以考 140 以上的。我一定要百倍地相信自己。

3.13

換元法換完之后要換回來。多刷幾遍，別著急要結果和答案，沉下去就是最重要的。

3.14

比較簡單吧，就是一個整體代換的思路。做題的一些結論，我感覺就是主打一個隨緣吧。佛系一點我認為就是做題最好的狀態。

3.15

這題做得汗流浹背了。

3.16

這題有意思。從今天，我把所有遇到的數學題，分為兩類，一類是簡單題，一類是有意思的題。這題的難點我覺得是積分表不記得。當然還有有理化構造也是有東西。

3.17

就是一些題很常見，但是自己不一定能寫出來，必須多寫幾遍，并且多寫幾遍之后，也不一定能寫出來，不一定能多寫幾遍，也是一個問題呢。我分部積分法簡直就是天才。添加一個系數，這操作就是天秀啊。第二問也有意思。

3.18

差一點算對就是沒算對的意思。我對自己稍微嚴格一些，就是二元化這個東西。

3.19

既然是復習，我每次每個題算兩遍，不是更好嗎。算了，懶惰，算一遍算對就得了。這里就是會出現重復的一項，移項之后可以把答案解出來。

第二問同學考過我，我做不出來，汗流浹背，現在好像也有點做不出來。也有點汗流浹背了。還是積分表，然后這題可能就是要積累一些經驗，因為假設我們把 $sec^2x=1+tan^2x$ 代換，然后可能還是把它做復雜了，甚至可能寫不出來，我沒考慮到這個可以用分部積分法。難的可能不是分部積分法，可能是什么情況下用分部積分法。

第三問有點意思，分部積分之后，消掉了一項。

3.20

第一問坦率地說挺有意思的。我能寫出來，我真是一百五的苗子。這題就是首先分部積分，分部積分的特征就是，要么是 $sec^3x$ 這種拆開之后容易湊微分的，要么就是反對冪三指這種不同的函數類型，然后分部積分，然后是把一個變量看成是一個整體，做整體代換，中間要用到裂項相消。就可以得到最后的答案了。

第二問我能把解析的第一行自己獨立寫出來，但是后面我考慮用三角換元，但是感覺距離答案越來越遠了。指數函數在根號下面，考慮讓這個整體是一個新的變量，然后根式換元。換元之后還是能算出來，但是因為太晚了，沒睡好，集中不了注意力，算不對，這不怪自己。從今天開始，每天晚上十一點之前睡覺，保持一個充足的睡眠，才能沖擊數學高分。慢慢來。

這題重新寫也算不對啊。這題真難。

3.21

今天寫不定積分，把講義上面的所有題寫完，然后再開始復習期末考試。真希望我們都可以健健康康的。這題挺難的。非常牛。

刻意練習

一步之遙，二次的分母，分子是一次，這個注意到了，但是代回去的時候忘記了。這題非常厲害。我感覺完全夠一個五分題了。高數是有四個選擇題，四個填空題，還是有一些出題空間的。大題，一個微分方程，一個中值定理，一個二重積分，一個多元微分，奧還有無窮級數。還有數一專題。中值定理和微分方程可能是一塊兒考的。這題我少寫了一個負號，輸麻了。

3.22

這題有點秀，貌似完全沒有思路。我從現在開始，還是題目上面別做任何筆記了。確實有點影響自己二刷。萬能代換，早都忘光了。

3.23

這題也做不出來。有點無能為力，這種弱小的感覺，有點無奈。這題太秀了，必須積累經驗，就是分母出現了余弦的平方，然后可以分子分母同時乘以正割的平方，然后正弦的平方乘以正割的平方就是正切的平方，正割的平方就是正切的導數，所以就湊出來了。非常巧妙。所以必須得積累經驗。有同學能秒了這題，不是我虛構的同學，是真的現實中的同專業的同學。

3.24

關鍵就是三角函數不定積分還有另外的公式。要記住，然后的話，好好加油。初試就是自己最重要的事情。

3.25

包裝了一下。等于說一開始就設置了一個門檻，沒有直白地把函數表達式給我們。原函數求導之后是所謂的函數。函數求積分是原函數。原函數求導是函數。這里我所說的函數是 f(x) ，這里的原函數，是指 F(x) ，沒有考慮什么任意常數 C 之類的表述，只是為了方便直觀理解。不定積分肯定是要加上任意常數的。當然，這個包裝沒有任何難度。

本質上還是考察分部積分法。分部積分法，是把 d 右邊的部分求導拿到 d 左邊，或者 d 左邊的東西求積分之后，拿到 d 的右邊。這里實際上暗示得很明顯，直接把 f’(x) 寫在了 d 左邊，我在想，假設把求導之后的具體表達式寫在這里難度一下子就上來了。

分部積分法之后，出現的式子是冪函數，全是冪函數，全是冪函數難以繼續分部積分法了，但是我沒有這個經驗，或者說，也不一定？我試了一下分部積分法，算不到最后的結果，算不出來，然后用換元法試了一下，換元法可以出來，簡單一步換元法可以秒了這題。可能這種稍微綜合一點的題，需要多嘗試？這里出現了根號，然后換掉這個根號之后可以表示剩下的所有的元素，并且表示起來也是比較方便的。