GMRES算法處理多個右端項的Block與PseudoBlock變體

Block與PseudoBlock GMRES簡介

在處理多個右端項的線性方程組時，Block GMRES和PseudoBlock GMRES是兩種常用的變體算法：

• Block GMRES：同時處理所有右端項，構建一個大的Krylov子空間
• PseudoBlock GMRES：獨立處理每個右端項，但共享Arnoldi過程的信息

主要區別

特性	Block GMRES	PseudoBlock GMRES
處理方式	同時處理所有右端項	獨立處理但共享信息
子空間	單個大子空間	多個子空間共享基
內存需求	較高	相對較低
收斂性	可能更快(當右端項相關)	更穩健(當右端項獨立)
實現復雜度	較高	中等

Block GMRES偽代碼

def block_GMRES(A, B, max_iter, tol, restart=None):"""A: 系數矩陣(n×n)B: 右端項矩陣(n×s), s為右端項數量max_iter: 最大迭代次數tol: 容忍誤差restart: 重啟周期(可選)"""n, s = B.shapeX = initial_guess(n, s)  # 初始解矩陣for cycle in range(max_cycles):# 計算初始殘差塊R = B - A @ Xβ = norm(R, 'fro')Q = [R / β]  # 初始正交基H = []  # Hessenberg矩陣for j in range(1, max_iter+1):# Arnoldi過程W = A @ Q[-1]for i in range(j):H[i,j-1] = dot(Q[i], W)W = W - Q[i] * H[i,j-1]H[j,j-1] = norm(W, 'fro')if H[j,j-1] < eps:breakQ.append(W / H[j,j-1])# 解最小二乘問題e1 = zeros(j*s+1, s)e1[:s] = β * eye(s)y = lstsq(H[:j+1,:j], e1)# 更新解X = X + Q[:j] @ y# 檢查收斂if norm(R, 'fro') < tol:return Xif restart:# 重啟邏輯X = current_solutioncontinuereturn X

PseudoBlock GMRES偽代碼

def pseudoBlock_GMRES(A, B, max_iter, tol):"""A: 系數矩陣(n×n)B: 右端項矩陣(n×s), s為右端項數量max_iter: 最大迭代次數tol: 容忍誤差"""n, s = B.shapeX = zeros(n, s)  # 初始解矩陣residuals = [norm(B[:,i] - A @ X[:,i]) for i in range(s)]active_systems = list(range(s))  # 未收斂的系統索引# 共享的Krylov子空間Q_shared = []H_shared = []while active_systems:# 選擇最不收斂的系統作為種子seed_idx = argmax([residuals[i] for i in active_systems])b_seed = B[:, seed_idx]x_seed = X[:, seed_idx]r_seed = b_seed - A @ x_seedβ = norm(r_seed)q1 = r_seed / β# 標準GMRES Arnoldi過程Q = [q1]H = zeros(max_iter+1, max_iter)for j in range(max_iter):# Arnoldi步驟v = A @ Q[j]for i in range(j+1):H[i,j] = dot(Q[i], v)v = v - H[i,j] * Q[i]H[j+1,j] = norm(v)if H[j+1,j] < eps:breakQ.append(v / H[j+1,j])# 對種子系統求解e1 = zeros(j+2, 1)e1[0] = βy = lstsq(H[:j+2,:j+1], e1)x_seed = x_seed + Q[:j+1] @ y# 對其他系統使用相同子空間for i in active_systems:if i == seed_idx:continuer_i = B[:,i] - A @ X[:,i]β_i = norm(r_i)e1_i = zeros(j+2, 1)e1_i[0] = β_iy_i = lstsq(H[:j+2,:j+1], e1_i)X[:,i] = X[:,i] + Q[:j+1] @ y_iresiduals[i] = norm(B[:,i] - A @ X[:,i])# 檢查收斂active_systems = [i for i in active_systems if residuals[i] > tol]if not active_systems:break# 更新共享子空間信息Q_shared = QH_shared = H[:j+2,:j+1]return X

實際實現考慮因素

1. 預處理：兩種方法都可以結合預處理技術提高收斂速度
2. 并行化：Block GMRES更適合矩陣-塊向量乘積的并行化
3. 內存管理：Block GMRES需要更多內存存儲基向量
4. 重啟策略：對于大型問題，兩種方法都可能需要重啟以避免內存爆炸

選擇哪種方法取決于具體問題特性：當右端項高度相關時，Block GMRES通常更有效；當右端項獨立或相關性低時，PseudoBlock GMRES可能更穩健。