C++/數據結構：AVL樹

一、AVL樹的概念

二、AVL樹的實現

2.1節點定義

?2.2節點插入

三、AVL樹的旋轉

3.1新節點插入較高左子樹的左側：右單旋

3.2新節點插入較高右子樹的右側：左單旋

3.3新節點插入較高左子樹的右側---左右：先左單旋再右單旋

3.4新節點插入較高右子樹的左側---右左：先右單旋再左單旋

四、AVL樹的性能

一、AVL樹的概念

二叉搜索樹雖可以縮短查找的效率，但如果數據有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹，查

找元素相當于在順序表中搜索元素，效率低下。因此，兩位俄羅斯的數學家G.M. A delson- V elskii

和E.M. L andis在1962年發明了一種解決上述問題的方法：當向二叉搜索樹中插入新結點后，如果能保證每個結點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(需要對樹中的結點進行調整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索長度。

一棵AVL樹或者是空樹，或者是具有以下性質的二叉搜索樹：

它的左右子樹都是AVL樹左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索樹是高度平衡的，它就是AVL樹。如果它有n個結點，其高度可保持在

$O(log_2 n)$，搜索時間復雜度logn。

二、AVL樹的實現

2.1節點定義

template <class K,class V>
class AVLtreeNode
{AVLtreeNode<K, V>* _left;AVLtreeNode<K, V>* _right;AVLtreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int bf;AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), bf(0){}
};

?2.2節點插入

AVL樹就是在二叉搜索樹的基礎上引入了平衡因子，因此AVL樹也可以看成是二叉搜索樹。那么

AVL樹的插入過程可以分為兩步：

1. 按照二叉搜索樹的方式插入新節點

2. 調整節點的平衡因子

新節點插入后，AVL樹的平衡性可能會遭到破壞，此時就需要更新平衡因子，并檢測是否破壞了AVL樹的平衡性。

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要調整，在插入之前，pParent的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：

?1. 如果pCur插入到pParent的左側，只需給pParent的平衡因子-1即可

?2. 如果pCur插入到pParent的右側，只需給pParent的平衡因子+1即可

此時：pParent的平衡因子可能有三種情況：0，正負1，正負2

?1. 如果pParent的平衡因子為0，說明插入之前pParent的平衡因子為正負1，插入后被調整成0，此時滿足 AVL樹的性質，插入成功

?2. 如果pParent的平衡因子為正負1，說明插入前pParent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負1，此時以pParent為根的樹的高度增加，需要繼續向上更新

?3. 如果pParent的平衡因子為正負2，則pParent的平衡因子違反平衡樹的性質，需要對其進行旋轉處理

bool insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}			}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first>cur->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;} cur->_parent = parent;//調整avl樹的結構，處理parent的平衡因子while (parent){if (parent->left == cur){parent->bf--;}else if (parent->right == cur){parent->bf++;}//不斷向上更改avl樹中的bf平衡因子if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//更新去上面的父節點的bfparent = parent->_parent;cur = cur->parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋轉處理//單旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右邊高 {RotateL(parent);//左單旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//左邊高{RotateR(parent);//右單旋}//雙旋處理else if (parent->_bf==-2&&cur->_bf==1)//左邊高的右邊高,先左旋再右旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent)//右邊高的左邊高，先右旋再左旋}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}

三、AVL樹的旋轉

如果在一棵原本是平衡的AVL樹中插入一個新節點，可能造成不平衡，此時必須調整樹的結構，使之平衡化。根據節點插入位置的不同，AVL樹的旋轉分為四種：

3.1新節點插入較高左子樹的左側：右單旋

上圖在插入前，AVL樹是平衡的，新節點插入到30的左子樹(注意：此處不是左孩子)中，30左子樹增加了一層，導致以60為根的二叉樹不平衡，要讓60平衡，只能將60左子樹的高度減少一層，右子樹增加一層，即將左子樹往上提，這樣60轉下來，因為60比30大，只能將其放在30的右子樹，而如果30有右子樹，右子樹根的值一定大于30，小于60，只能將其放在60的左子樹，旋轉完成后，更新節點的平衡因子即可。在旋轉過程中，有以下幾種情況需要考慮：

1. 30節點的右孩子可能存在，也可能不存在。

2. 60可能是根節點，也可能是子樹如果是根節點，旋轉完成后，要更新根節點如果是子樹，可能是某個節點的左子樹，也可能是右子樹。

void RotateR(Node* parent)//右單旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR) subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left == subL;}else{pparent->_right == subL;}subL->_parent = pparent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;return true;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);  if (bf == 1)//左邊高的右邊高，新增節點在右{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//新增節點在左{parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0 ;}else if (bf == 0)//本身就是新增節點直接導致出現左邊高的右邊高{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

3.2新節點插入較高右子樹的右側：左單旋

和右單旋的思路以及實現方式大相徑庭。只需略微改動。

void RotateL(Node* parent)//左單旋{Node* subR = parent->right;Node* subRL = subR->left;Node* pparent = parent->_parent;parent->right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;subR->left = parent;parent->_parent = subR;if (pparent == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

3.3新節點插入較高左子樹的右側---左右：先左單旋再右單旋

將雙旋變成單旋后再旋轉，即：先對30進行左單旋，然后再對90進行右單旋，旋轉完成后再

考慮平衡因子的更新。

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);  if (bf == 1)//左邊高的右邊高，新增節點在右{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//新增節點在左{parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0 ;}else if (bf == 0)//本身就是新增節點直接導致出現左邊高的右邊高{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

3.4新節點插入較高右子樹的左側---右左：先右單旋再左單旋

參考右左雙旋

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL =subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

總結：

假如以pParent為根的子樹不平衡，即pParent的平衡因子為2或者-2，分以下情況考慮

1. pParent的平衡因子為2，說明pParent的右子樹高，設pParent的右子樹的根為pSubR。

當pSubR的平衡因子為1時，執行左單旋。

當pSubR的平衡因子為-1時，執行右左雙旋。

2. pParent的平衡因子為-2，說明pParent的左子樹高，設pParent的左子樹的根為pSubL。

當pSubL的平衡因子為-1是，執行右單旋。

當pSubL的平衡因子為1時，執行左右雙旋。

旋轉完成后，原pParent為根的子樹個高度降低，已經平衡，不需要再向上更新。

四、AVL樹的性能

因為AVL樹也是二叉搜索樹，可按照二叉搜索樹的方式將節點刪除，然后再更新平衡因子，只不錯與刪除不同的時，刪除節點后的平衡因子更新，最差情況下一直要調整到根節點的位置。

AVL樹是一棵絕對平衡的二叉搜索樹，其要求每個節點的左右子樹高度差的絕對值都不超過1，這樣可以保證查詢時高效的時間復雜度，即$log_2 (N)$。但是如果要對AVL樹做一些結構修改的操作，性能非常低下，比如：插入時要維護其絕對平衡，旋轉的次數比較多，更差的是在刪除時，有可能一直要讓旋轉持續到根的位置。因此：如果需要一種查詢高效且有序的數據結構，而且數據的個數為靜態的(即不會改變)，可以考慮AVL樹，但一個結構經常修改，就不太適合。