一、算法原理

• 層次分析法（analytic hierarchy process），簡稱AHP，是指將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。該方法是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂于20世紀70年代初，在為美國國防部研究"根據各個工業部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配"課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。

• 傳統定性分析方法類似專家打分、專家判斷等，僅能將指標簡單地劃分為幾個層級（類似非常重要、比較重要、一般、比較不重要、非常不重要），這樣導致部分存在差別但是不大的指標得到了同樣的權重，受主觀因素影響，無法對最終決策做出更好的幫助。層次分析法將不同指標間一一比對，主觀與客觀相結合，很好地解決了以上問題。

• 判斷矩陣量化值參照表：

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
較強重要	5
強烈重要	7
極端重要	9
兩相鄰判斷的中間值	2，4，6，8
倒數	假設因素i相比因素j重要程度量化值為3，相反就是1/3

二、案例分析

目的：選擇某個城市旅游

方案：南京、桂林、三亞

考慮因素：景色、吃住、價格、人文

2.1 構建指標層判斷矩陣

構建判斷矩陣，理論上需要專家打分。

2.2 求各指標權重

2.2.1 算術平均法（和積法）

1. 按列求和：如$1+4+1/2+3=8.5$。
   

2. 將指標層判斷矩陣按列歸一化（即按列求占比），如：
   $0.12=1/8.5$
   $0.47=4/8.5$
   $0.06=1/2/8.5$
   $0.35=3/8.5$
   

3. 將歸一化后的矩陣按行求平均，得到權重向量w
   

2.2.2 幾何平均法（方根法）

1. 每行各元素相乘（行乘積），如$1?1/4?2?1/3=0.1667$
   

2. 對乘積列每個元素開n次方（n為矩陣階數，此處n=4），如$\sqrt[4]{0.1667}=0.6389$.
   

3. 然后對開方列求列占比，得到權重向量w，如$$0.1171=0.6389/5.4566$$.
   

2.3 一致性檢驗

2.3.1 求解最大特征根值

得到權重向量后，可以計算出原判斷矩陣的最大特征根值，公式為：

$${\lambda }_{max}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{(A{W}_i)}{W_i}$$

其中，n為矩陣階數，此處n=4。

求解步驟（以和積法求解權重為例）

1. 求$AW$，其中$0.4705=1?0.1176+\frac{1}{4}?0.5175+2?0.0611+\frac{1}{3}?0.3038$
   

2. 求$\frac{AW}{W}$，如$4.0016=0.4705/0.1176$
   

3. 求$\frac{1}{n}sum(\frac{AW}{W})$，此處$sum(\frac{AW}{W})=16.0621$
   

4. 綜上求得${\lambda }_{max}=\frac{1}{4}?16.0621=4.0155$。

2.3.2 求解CI、RI、CR值

• 計算CI

$$CI=\frac{\lambda ?n}{n?1}=\frac{4.0155?4}{4?1}=0.0052$$

• 計算RI

根據查表，得知$RI$為0.89

• 計算CR

$$CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0052}{0.89}=0.0058$$

2.3.3 一致性判斷

CR = 0.0058 < 0.1，即通過一致性檢驗。

2.4 分別求解方案層權重向量及一致性檢驗

2.4.1 景色

1. 構建判斷矩陣
   

2. 計算權重向量以及一致性檢驗.（步驟如上文，為了簡便文章，本次計算采用python代碼，以和積法求解權重，下文將詳細介紹）
   

2.4.2 吃住

1. 構建判斷矩陣
   

2. 計算權重向量以及一致性檢驗.（步驟如上文，為了簡便文章，本次計算采用python代碼，以和積法求解權重，下文將詳細介紹）
   

2.4.3 價格

1. 構建判斷矩陣
   

2. 計算權重向量以及一致性檢驗.（步驟如上文，為了簡便文章，本次計算采用python代碼，以和積法求解權重，下文將詳細介紹）
   

2.4.4 人文

1. 構建判斷矩陣
   

2. 計算權重向量以及一致性檢驗.（步驟如上文，為了簡便文章，本次計算采用python代碼，以和積法求解權重，下文將詳細介紹）
   

2.5 計算各方案得分

$綜合得分=sum(單項得分?對應指標權重)$

可以看出，南京得分0.5675為最高，最終方案應選擇南京。

三、python 代碼

3.1 和積法計算權重

import numpy as np
import pandas as pd''' 層次分析法判斷矩陣權重向量計算--和積法 '''
def get_w_anc(factors_matrix):# RI字典RI_dict = {1:0,2:0,3:0.52,4:0.89,5:1.12,6:1.26,7:1.36,8:1.41,9:1.46,10:1.49,11:1.52,12:1.54,13:1.56,14:1.58,15:1.59}# 矩陣階數shape = factors_matrix.shape[0]# 按列求和column_sum_vector = np.sum(factors_matrix, axis=0)# 指標層判斷矩陣歸一化normalization_matrix = factors_matrix / column_sum_vector# 按行求歸一化后的判斷矩陣平均值，得到權重WW_vector = np.mean(normalization_matrix, axis=1)# 原判斷矩陣 乘以 權重向量AW_vector = np.dot(factors_matrix, W_vector)# 原判斷矩陣 ?? 權重向量 / 權重AW_w = AW_vector / W_vector# 求特征值lamda = sum(AW_w) / shape# 求CI值CI = (lamda - shape) / (shape - 1)# 求CR值CR = CI / RI_dict[shape]print("權重向量為：",list(W_vector))print("最大特征值：",lamda)print("CI值為：",CI)print("RI值為：",RI_dict[shape])print("CR值為：",CR)if CR < 0.1:print('矩陣通過一致性檢驗')else:print('矩陣未通過一致性檢驗')print("---------------------------")return W_vectorif __name__ == "__main__":# 指標層判斷矩陣factors_matrix = np.array([[1,1/4,2,1/3],[4,1,8,2],[1/2,1/8,1,1/5],[3,1/2,5,1]])# 景色view_matrix = np.array([[1,1/4,2],[4,1,8],[1/2,1/8,1]])# 吃住board_matrix = np.array([[1,5,2],[1/5,1,1/2],[1/2,2,1]])# 價格price_matrix = np.array([[1,1/3,2],[3,1,5],[1/2,1/5,1]])# 人文humanity_matrix = np.array([[1,5,7],[1/5,1,2],[1/7,1/2,1]])w_A = get_w_anc(factors_matrix)print("景色：")w_view = get_w_anc(view_matrix)print("吃住：")w_board = get_w_anc(board_matrix)print("價格：")w_price = get_w_anc(price_matrix)print("人文：")w_humanity = get_w_anc(humanity_matrix)# 將景色、吃住、價格、人文權重向量合并w_B = np.vstack((w_view, w_board,w_price,w_humanity))# 求出最終得分score = np.dot(w_A,w_B)print("最終得分向量：",score)

• 運行結果
  

3.2 方根法計算權重

這里只列出計算權重部分

• 原指標層判斷矩陣

# 指標層判斷矩陣
factors_matrix = np.array([[1,1/4,2,1/3],[4,1,8,2],[1/2,1/8,1,1/5],[3,1/2,5,1]
])

1. 求行乘積

# 求行乘積
array1 = factors_matrix.prod(axis=1, keepdims=True)

2. 對乘積列每個元素開n次方（n為矩陣階數，此處n=4）

n = 4
array2 = np.power(array1, 1/n)

3. 對開方列求列占比，得到權重向量w

array2 / np.sum(array2)

3.3 python庫 np.linalg.eig

# 計算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(factors_matrix)# 需要注意的是，對于一個nxn的矩陣，最多可能有n個特征值和特征向量，因此，需要挑選出最大的特征值進行一致性判斷
# 找到最大特征值的索引
max_eigenvalue_index = np.argmax(eigenvalues)# 提取最大特征值和對應的特征向量
max_eigenvalue = eigenvalues[max_eigenvalue_index]
max_eigenvector = eigenvectors[:, max_eigenvalue_index]print("最大特征值:", max_eigenvalue)
print("對應的特征向量:", max_eigenvector)

• 參考：層次分析法（AHP）步驟詳解-嗶哩嗶哩
• 參考：層次分析法原理及計算過程詳解）