概念

導數是微積分中的一個概念，用于描述函數在某一點的變化率。在數學中，函數的導數表示函數值隨著自變量的微小變化而產生的變化量，即斜率或變化率。

假設有一個函數 f(x)，其中 x 是自變量，y = f(x) 是因變量。函數 f(x) 在某一點 x0 處的導數表示為 f’(x0)，也可以寫作 dy/dx 或 df/dx。

導數的定義是：
f’(x0) = lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

其中，h 表示自變量 x 的一個微小變化量。

導數的幾個重要概念：

導數的幾何意義：導數表示函數曲線在某一點的切線斜率。
導數的物理意義：在物理學中，導數可以表示物體的速度、加速度等概念。
導數的規則：導數具有一些運算規則，例如常數規則、冪規則、和差規則、乘積規則、商規則等，用于求不同類型函數的導數。
高階導數：除了一階導數，還可以計算二階導數、三階導數等，表示函數變化率的變化率。
鏈式法則：用于求復合函數的導數。
導數在數學、物理、工程等領域都有廣泛的應用，例如在優化問題、函數的極值點、速度與加速度的關系等方面。

代碼實現

方法一

import sympy as sp# 定義符號變量和函數
x = sp.symbols('x')
f = x**2 + 3*x + 2# 計算函數的導數
f_prime = sp.diff(f, x)print("函數的導數:", f_prime)

方法二

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定義函數
def f(x):return x**2 + 3*x + 2# 定義計算導數的函數
def compute_derivative(f, x, h=1e-5):return (f(x + h) - f(x)) / hx_vals = np.linspace(-10, 10, 100)
y_vals = f(x_vals)# 計算導數值
derivative_vals = compute_derivative(f, x_vals)# 繪制函數及其導數
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label='f(x) = x^2 + 3x + 2')
plt.plot(x_vals, derivative_vals, label="f'(x)")
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Function and its Derivative')
plt.grid(True)
plt.show()