矩陣方程有解判定定理

線性方程組有解判定

• 線性方程組$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解的充分必要條件是它的系數矩陣A和增廣矩陣$(A,\mathbf{b})$具有相同的秩$R(A)=R(A,\mathbf{b})$,記$r=R(A)=R(A,\mathbf{b})$:

  • 若$r=n$有方程組有唯一解
  • 若$r<n$方程組有多解

• 對于非齊次線性方程,需要計算$R(A),R(A,\mathbf{b})$

• 對于齊次線性方程只需要計算$R(A)$

特化:齊次線性方程組有解判定

• 這是線性方程組有解的特例,可以將定理進一步簡化

• 齊次線性方程組$A\mathbf{x}=0$齊次方程組的情況可以理解為$\mathbf{b}$中元素全為0

• 容易知道$A\mathbf{x}=0$總有$R(A)=R(\overline{A})=r$,因此齊次線性方程組總是有解;

  • 我們只需要計算系數矩陣$A$的秩$R(A)$即可得到$r$
  • 若$r=n$則方程組有唯一解,并且是零解
  • 若$r<n$方程組有非零解

• 齊次線性方程組有解判定定理:齊次線性方程組$A\mathbf{x}=0$有解的充要條件是$R(A)?n$;

  • 有零解(唯一解)的充要條件是$R(A)=n$
  • 有非零解(多解)的充要條件是$R(A)<n$;

推廣:矩陣方程$AX=B$有解判定

• 這里$B$是常數項矩陣(不再是系數矩陣的增廣矩陣)
• 定理:矩陣方程$AX=B$有解的充要條件是$R(A)=R(A,B)$

  • 注意這里$X,B$不一定是向量,可能是多行多列的矩陣

  • 參考同濟線代v6@p76@定理6

證明

• 設$A,X,B$分別為$m\times n$,$n\times l$,$m\times l$的矩陣

• 對X和B按列分塊:

  • $X$=$({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,?{\mathbf{x}}_l)$,
  • $B$=$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,?{\mathbf{b}}_l)$

• 矩陣方程$AX=B$等價于$l$個向量方程(線性方程組)

• $AX=A({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,?{\mathbf{x}}_l)$=$(A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2,?A{\mathbf{x}}_l)$

• 所有$AX=B$等價于$(A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2,?A{\mathbf{x}}_l)$=$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,?{\mathbf{b}}_l)$

  • 又等價于$A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i(i=1,2,?,l)$共$l$個線性方程組
  • 這些線性方程的共同點是有相同的系數矩陣$A$,這意味著這$l$個線性方程組以及原矩陣方程的系數矩陣的秩都是相等的,這個結論很重要
  • 而位置數矩陣和常數項矩陣又是相對獨立的

• 設$R(A)=r$,且$A$的行階梯形矩陣為$\tilde{A}$,則$\tilde{A}$有$r$個非零行,且$\tilde{A}$的后$m?r$行為全零行

• $(A,B)$=$(A,{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,?{\mathbf{b}}_l)$ $\stackrel{r}{～}$ $(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_1},?,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$

  • 其中$\tilde{A}$是$A$的行階梯形矩陣
  • 而向量$\widetilde{{\mathbf{b}}_1},?,\widetilde{{\mathbf{b}}_l}$是${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,?{\mathbf{b}}_l$與$A\stackrel{r}{～}\tilde{A}$執行相同的行變換后的結果,即$\widetilde{{\mathbf{b}}_i}$并不表示某個行階梯形矩陣

• 將等價的第$i$個線性方程組的增廣矩陣初等行變換為行階梯形矩陣:$(A,{\mathbf{b}}_i)$ $\stackrel{r}{～}$ $(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_i})$,$(i=1,2,?,l)$

• $AX=B$有解$?$ $A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i$ $(i=1,2,?,l)$有解

  • $?$ $R(A,{\mathbf{b}}_i)$=$R(A)=r$,$(i=1,2,?,l)$
  • $?$ $\widetilde{{\mathbf{b}}_i}$的后$m?r$個分量(元)全為0$(i=1,2,?,l)$
    • 因為,若后$m?r$個元中存在非零元,會導致$R(A,{\mathbf{b}}_i)>R(A)$,導致$A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i$無解
    • 而其前$r$個元的取值情況不會影響$R(A,{\mathbf{b}}_i)$=$R(A)$的成立,我們不關心
  • $?$ 矩陣$(\widetilde{{\mathbf{b}}_1},?,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$的后$m?r$行全為0;
  • $?$ 行階梯形矩陣$\tilde{D}$=$(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_1},?,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$的后$m?r$行全為0
  • $?$ $R(\tilde{D})?m?(m?r)=r$,又因為$\tilde{D}$包含了$\tilde{A}$,所以$R(\tilde{A})=r?R(\tilde{D})$
  • $?$ $R(\tilde{D})=r$
  • $?R(A,B)=R(A)$

• 因此,如果$AX=B$有解,則$R(A,B)=R(A)$

推論

• 若$AX=B$有解,則$R(B)?R(A,B)=R(A)$,所以$R(B)?R(A)$,即常數項矩陣的秩小于系數矩陣的秩
• 對$AX=B$兩邊同時取轉置運算,有$X^T{A}^T=B^T$,同理有$R(B^T)?R(X^T)$,即$R(B)?R(X)$
• 綜上,$R(B)?\min (R(A),R(X))$