Zmn-0351 薛問天：再談數學概念的定義，評新華先生《0345》

【編者按。下面是薛問天先生發來的文章。是對《Zmn-0345》新華先生文章的評論。現在發布如下，供網友們共享。請大家關注并積極評論。另外本《專欄》重申，這里純屬學術討論，所有發布的各種意見僅代表作者本人，不代表本《專欄》編輯部的意見。】

再談數學概念的定義，

評新華先生《0345》

薛問天

xuewentian2006@

。

(一)，抽象的「有窮」和「無窮」不是數學概念 。

抽象的「有窮」和「無窮」不是數學概念 ，所以在數學中并沒有「有窮」和「無窮」的數學定義 。在數學中只有具體的「有窮集」和「無窮集」的概念，其它的「有窮小數」和「無窮小數」，以及「有窮序列」和「無窮序列」，「有窮枝」和「無窮枝」... 等數學概念都是在「有窮集」和「無窮集」定義的基礎上定義的數學概念 。例如「有窮小數」是小數點后的位數集是有窮集的小數，而「無窮小數」是小數點后的位數集是無窮集的小數。「有窮序列」是序列的項集是有窮集的序列，而「無窮序列」是序列的項集是無窮集的序列。「有窮枝」是結點集是有窮集的枝，而「無窮枝」是結點集是無窮集的枝，... 等。

在數學中任何概念，都不能按它的名稱的字面含義來理解，而要按它的定義鏈，一步步回溯弄清它的確切含義。那些用查漢語詞典或其它方法，了解詞匯的字面含義的語義學方法來學習數學，是絕對錯誤的。我反復強調上數學課不是上語文課。

例如，要了解數學概念「自然數」的含義，必須根據「自然數」的數學定義，而絕不是先去了解什么是「自然」，然后才能定義「自然數」。數學概念「無窮集」也一樣，有了上述認識，我想新華先生就不會提問這樣的問題: 【沒有「無窮」的定義，如何定義「無窮集」呢？】因為沒有「自然」的定義，完全可以用皮亞諾公理等方法定義自然數。同樣在數學中沒有「無窮」的定義，照樣可以用同自然數的一一對應的方法來定義「無窮(可數無窮)集」！

新華先生說【「無窮」和「無窮集」是兩個不同的概念。】沒有錯，「無窮」不是數學概念，所以沒有數學定義。而「無窮集」是數學概念，所以有數學定義。

另外不要把「定義」同「概念屬性的解釋和說明」相混淆。【無窮是有限的不斷延伸，有始無終，】這只能是一種解釋和說明，不能作為數學定義，因為用語并不嚴格，是一種描述性的語言，不是有定義的數學語言。

我們的方法是用皮亞諾公理和集合論公理定義「自然數」和斷定它的存在，然后再用自然數和一一對應定義「有窮集」和「無窮集」。這是嚴格的數學定義方法。

即【任意有窮集】指的就是存在一個n，能使其同集合｛0,1,2,...,n)建立一一對應的集合。【無窮集(這里指的是可數無窮集)】，指的是能同全體自然數集N一一對應的集合。從這個定義就可明顯區分【任意有窮集】同【無窮集】的不同。

潛無窮觀認為，由于任意自然數都可以通過“+1”而得到一個新的自然數，于是認為這個集合的【生成過程】永遠不會完成結束，所以認為自然數集不是一個確定的集合。

而實無窮觀認為，任何自然數+1還是自然數，沒有最大自然數，這只是自然數集的屬性，并不影響由所有的自然數構成一個確定的數學對象，因而承認它是一個由所有自然數作為元素構成的集合。它包括了所有產生的自然數，因而集合不會再增加新的自然數。這并不意味著集合中有最大自然數。

每個自然數n，都是有窮數，是指任何自然數n都可由0經有窮次的+1運算而得到，不存在無窮自然數，也不存在最大自然數。但是所有自然數的集合卻是一個確定的數學對象:無窮集合。這就是實無窮觀對自然數和對所有自然數的集合的認識。

?(二、五)，要了解這里討論的來由。

?(1)，新華先生問【實際上從薛問天先生本意就是“區間(0,1)中不是有理數就是無理數”，干脆說“區間(0,1)挖去所有可數多個有理數，剩余的是不可數多個無理數”，何必要強調不可數多個無窮序列呢？】

【對于區間(0,1)中任意一個無理數，都有一個確定的對應點，而這個確定的對應點對應的數值就是這個無理數，與不可數無窮多個無窮序列沒有任何關系，何必多此一舉呢？】

新華先生的提問，說明他不了解我們這里所討論的問題的來由。我們這里所討論的一切問題都是由黃汝廣先生提出的問題引起的。【何必要強調不可數多個無窮序列呢？】【何必多此一舉呢？】只有了解了問題的原由，才能知道為什么【何必】。

?(2)，事出有因，我們的討論是針對黃汝廣先生在《0308》中提出的一個【證明】。后經《0311、0314、0316、0319、0321...》等一系列的討論。基本思路是這樣的。

黃汝廣先生認為，在區間(0,1)中挖去全部可數無窮個有理點后，剩余的是一個按某種編號規定用自然數編號的無窮序列，即有可數無窮個剩余部分。他證明其中每個部分都不可能是區間，而只能是空集或只包含一個無理數的集合。于是得出了剩下的是可數無窮多個無理數的結論。這與我們己知的剩余的應是不可數無窮多個無理數的事實相矛盾。

這里的問題是黃先生的這個推論錯在哪里。我指出他的推理錯誤是，由于不同的編號規定會產生不同的無窮序列，所以這里剩余的不是黃先生所說的只有一個無窮序列，而是有不可數無窮多個這樣的無窮序列(因為有不可數無窮多種編號規定)，從而剩余的是不可數無窮多個無理數，而不是可數無窮多個無理數。

這里所說的按我們的編號規定形成的各無窮序列的各個項，可以嚴格證明，或者是空集或者是由一個無理數構成的單個元素集。而挖去所有有理數后的剩余部分是所有這些無窮序列的項的并集，因而是不可數無窮多個無理數。把區間中全體無理數，看作是每個無理數構成的單個元素集的并集，這并不影響無理數集的稠密性。

另外要解釋一下，在實數理論中的「稠密性:」和「連續性」有明確的定義，不要用字面上的稠密和連續的通常語義來理解和解釋。有理數集和無理數集只滿足稠密性但不滿足連續性，但實數集既滿足稠密性又滿足連續性。因而新華先生說【離散與連續是對應的，是對立的概念，稀疏與稠密是對應的，是對立的概念，稠密是建立在離散概念基礎上的，...】并不符合「稠密性」和「連續性」的數學定義。如果【稠密是建立在離散概念基礎上的】，怎么解釋「實數集既滿足稠密性又滿足連續性」，和「康托集是完備(連續)的，卻不滿足稠密性」？

?(三)，關于【線段是無限可分的】

新華先生說【無窮多個有理數點只是相當于分點，線段是無限可分的，不會分到只剩下單個的點，否則，如果只剩下單個的點，就不能繼續分下去，只能是有限可分，線段就不是無限可分的。】

其實，【線段是無限可分的】并不是一個嚴格的數學用語，指的是「線段經任意有窮次分割后，仍可繼續再分。」在我們這里相當于在說「單位開區間，挖掉任意有窮個分點后，剩余的仍是有窮個開區間，可以繼續再挖走區間中的分點。」并未涉及把全體有理數這無窮個點「挖完以后」的剩余情況。這里的【無限可分】說的是在「挖完以前」可以繼續再挖。事實是「挖完以后」所剩下的只是所有的無理數，而沒有可分的區間了。黃汝廣先生的推理中也己證明了這點。因為如果還有區間，區間中就還有有理數未被挖完。

?(四)，證明中的無窮序列和實數表示的【柯西序列】無關

新華先說【在證明中引入“最后剩余的部分是不可數無窮多個序列，而每個無窮序列的并集是空集或是一個無理數，從而證明了最后剩余的是不可數多個無理數。”有這么意義呢？難道康托爾不是用無窮序列定義實數的嗎？從“最后剩余的部分是不可數無窮多個序列”到“而每個無窮序列的并集是空集或是一個無理數，從而證明了最后剩余的是不可數多個無理數。”這難道與康托爾用“柯西序列”定義無理數沒有關系嗎？】

我這里證明中的無窮序列和實數表示的【柯西序列】，確實沒有任何關系。

在我的證明中，最后剩余的部分是不可數無窮多個無窮序列，而按照我的編號規定所生成的每個無窮序列的所有項中，頂多只有一個項(注。還可證對其它編號規定生成的無窮序列，其中頂多只有有窮個項)是一個無理數構成的單個元素集，其它的項全部是空集。于是每個無窮序列的并集是空集或是一個(或有窮個)無理數，從而證明了最后剩余的是不可數多個無理數。也就是說，我這里的無窮序列的項全部是空集或頂多只有一個(或有窮個)無理數構成的單個元素集。求的是這無窮多個集合(項)的并集，同極限概念無關。

而定義實數的「柯西序列」，是指任何一個有理數的柯西序列構成一個無理數，柯西序列的項是有理數。另外，證明實數完備性(也稱連續性)是指，實數的任何「柯西序列」的極限是實數。柯西序列的項是實數。這同我們證明的無窮序列是兩碼事，根本沒有絲亳關系。

(五)，見(二、五)。

(六)，潛無窮觀者無法參與這些問題的討論。

新華先生說【我確實認為，「在區間(0,1)中挖去可數無窮多個全部有理數」是不可能的。】

如果認為區間(0,1)中的點由可數無窮個有理數點和不可數無窮個無理數點構成，那么挖去可數無窮個有理數點后，自然就剩下不可數個無理點。我不認為這個理論有什么地方不能【接受客觀實際的檢驗】。潛無窮觀者連這些最基本的無窮集的并、交、差集的運算都不接受，實在是寸步難行，只好不參與這些問題的討論。兩種無窮觀無法通過討論求得共識。

(七)，關于無窮個閉集的并集可能不是閉集的例子。

這個例子源于教科書: 實變函數論(江澤堅)第34頁。可在網上在線閱讀。鏈接地址是:

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新華先生辯解說【...我在講這句話是有特定環境下的，是在區間 (0,1)中挖去可數無窮多個全部有理數情況下講的，這些有理數是離散的，每一 個有理數構成點是閉集，它們是互不相交的，在這個前提下，顯然可數無窮多 個全部有理數集并集也是閉集。】

新華先生講的這句話仍然不對，你沒有證明，也證明不了【無窮個互不相交的閉集的并集一定是閉集】。仍然存在無窮個互不相交的閉集的并集可能不是閉集的例子。實際上，區間中全體有理數集并不是閉集。因為任何一個無理數都是有理數集的聚點，但是它并不屬于有理數集，可見有理數集并不是閉集。

(1,2,3)，關于集合的并、交運算及無窮個集合的并交運算都有嚴格的數學定義。這里并不需要極限，而∞也只是個符號，運算結果都是確定的集合，用等號并無任何【不妥】。詳細定義內容可參閱《實變函數論(江澤堅)》第1章。

(4)，在例子中，可按定義嚴格推出這無窮個閉區間的并是開區間，這無窮個開區間的交是閉區間。這里的推理是嚴格的。你之所以感到【反常】，【不可思議】和【無法解釋清楚】，是因為你沒有搞清楚什么是無窮個集合的交同并的運算的定義。當你把運算結果的含義想清楚了，上述結論就是顯而易見的事。

(5)，新華先生畫的是區間端點的圖，而應進一步畫出相應區間[1/n,1-1/n]的圖來。要使下端奌小于上端點，這里要求n＞2，即從下端點y=1/n到上端點y=1-1/n畫一條線表示區間。隨著n的增大區間在不斷加長。結果區間應是這些無窮個閉區間的并。顯然(0,1)中的任何點，都存在n使此點在相應的閉區間之中。正因為端點曲線同漸近線y=0,y=1永不相交，對任何n，相應的區間都達不到，即不可能包括0和1。所以結果區間(并)不包括0和1，是個開區間(0,1)。

同理，無窮個開區間(-1-1/n，1+1/n)都包括-1和1，所以它們的交即結果區間，是閉區間[-1，1]。這完全經得起【實踐的檢驗】。新華先生之所以覺得【結論不符合客觀存在的事實，是很不妥的；】是因為沒有搞清楚這無窮個區間的并和交的實際含義。

(6)，新華先生說【我是喜歡看書的】。這點我很欣賞。特推薦《實變函數論(江澤堅)》一書供新華先生參考。我認為【不迷信書】，【不是一味的囫圇吞棗的接收】這些都是對的。但是另一方面也要強調認真讀書，特別是數學專業書，要一個字一個字的讀。力求讀懂，了解作者的本意。不要還沒讀清楚就作評論，而應是在正確理解后再作評論。把自己的評論建立在堅實的基礎之上。

?(八)，其它幾個問題。

(1)，關于勒貝格測度。

新華先生說【...如果僅僅談點，線上任意兩點間都有無窮多個點，這無窮多個點都沒有長度，如何能夠構成兩點間距離呢？勒貝格測度理論得到(0,1)里所有有理數的測度為 0，是用直接法證明的，為什么不用同樣的方法去證明(0,1)里所有無理數的測度為 1 呢？不可測集實際就是一個悖論，它充分表明勒貝格測度理論也不盡完善。】

「長度」是對區間而言的，而「測度」是「長度」概念的拓展，使得除區間有「測度」外，一般的構不成區間的點集也有「測度」，而且希望能有同「長度」同樣的規則。如對于區間的長度，下述規則成立。任何互不相交的有限或可數無窮多個區間并集的總長度等于各區間長度之和。那么對一般點集的測度來說，是否有同樣的規則呢？即是否有「任何互不相交的有限或可數無窮多個點集的并集的總測度等于各點集的測度之和。」實際證明這是不可能的，無論如何定義測度，都辦不到這點，這就是因為存在有所謂的「不可測集」。排除掉不可測集，上述規則就可成立。這就是勒貝格測度。因而存在不可測集并不是什么【悖論】，也不是勒貝格測度理論【不盡完善】，而是【理論要接受實際的檢驗】，不能隨心所欲，讓理論做實際辦不到的事。正因為勒貝格測度堅持上述規則，「任何互不相交的有限或可數無窮多個點集的并集的總測度等于各點集的測度之和」，才推出由全部可數無窮個測度為0的有理數組成的點集的測度為0，再根據區間[0,1]的測度等于1，以及區間這個點集是其中的全體有理數集和全體無理集的并集，顯然就可得出由區間中全體不可數無窮多個無理數構成的點集的測度等于1。這一切都是順理成章的事，合乎邏輯沒有矛盾，沒有什么【不可思議】。

(2)，關于超實數。

新華先生說【超實數理論的出現就是認為實數表示的點不能構成有長度的區間，而用非標準數來填充實數之間的“隙縫”，是對點構成線的理論的挑戰。】

事實并非如此。新華先生這么說，給不出具體論證，純屬主觀猜想，毫無根據。超實數不是這個意思。

?(3)，關于開區間和閉區間，稠密性和連續性。

新華先生說區間中的無理數是【稠密地分布在區間中的，但是并不連續，】這句話是對的。但是說【即使填入挖去的有理數也不能構成連續的區間】，沒有說清楚原因。應在后面補上半句「再補上區間的兩個端點，成為閉區間，就具有連續性了。」

新華先生說的【連續是沒有“隙縫”的】，這只是一個直觀的說明和解釋，而不是連續性的數學定義。連續性也叫完備性，可以這樣定義。「稱一個點集是完備的(即連續的)，當且僅當點集的所有聚點屬于該點集而且點集的所有點都是聚點。」在上述例子中，因為區間的點全是聚點，而且端點也是聚點，閉區間的端點屬于區間，而開區間的端點不屬于區間，說明閉區間[0,1]具有完備性，而開區間(0,1)不具有完備性。

新華先生說【既然認為區間是由點構成，如果將區間[0，1]去掉端點 0 和 1，就必然會有點來補充作為去掉點 0 和 1 的區間的端點，因為所有點都是平等的，既然有點來充當區間的端點，必然還是閉區間，為什么還要用(0，1)來表述成開區間呢？難道這不令那些認為點構成線的人深思嗎？】

如果將閉區間[0，1]去掉端點 0 和 1，就是開區間(0,1)。如果再補上端點0和1，自然就又成閉區間[0,1]了。不知新華先生的問題在哪里，一個線段包含端點稱為閉區間，不包含端點稱為開區間。不知這有什么可深思的問題？

(全文完)

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