寫在前面

前面已經完成了控制系統的性能指標學習，從這節開始繼續學習控制系統的分析方法，本文重點介紹分析方法概述和時域分析法。

一、控制系統的基本分析方法

• 控制系統的基本分析方法包括：

  • 古典方法（經典控制理論）：時域分析法、根軌跡法、頻域分析法
  • 現代方法（現代控制理論）：狀態空間分析法

• 利用上述方法分析系統的三大基本特性：

  • 能控能觀性
  • 穩態性能
  • 動態性能

1.1 系統能控能觀性

系統的動態性能與穩態性能前面已做介紹，這里介紹一下能控能觀性。經典控制理論中并沒有涉及這兩個問題，因為經典控制理論討論的是單入單出(SISO)系統輸入輸出的分析和綜合問題，它的輸入輸出間的動態關系可以唯一的由傳遞函數來表示。

• 能控性定義：
  對于一個$n$階系統$S$，如果在有限的時間區間 $t_0\le t\le t_a$ 內，存在容許控制向量$u(t)$，能使系統從狀態 $x(t_0)\ne 0$ 轉移到 $x(t_a)=0$ ，則稱狀態$x(t)$ 在$t_0$上能控。

• 能觀性定義：
  對于一個$n$階系統$S$，如果對 $t_0$ 時刻，存在 $t_a$，即$t_0<t_a<\infty$，根據$[t_0,t_a]$上的$y(t)$測量值能夠唯一的確定系統在$t_0$ 時刻的某初始狀態$x_0$，則稱$x_0$為系統在$[t_0,t_a]$區間上的能觀狀態。

• 系統能控能觀性主要去解決兩個問題：

  • ① 在有限時間內，控制作用能否使系統從初始狀態轉移到要求的狀態?
  • ② 在有限時間內，能否通過系統輸出的測量估計系統的初始狀態?

  簡單地說，如果系統的每一個狀態變量的運動都可由輸入來影響和控制，由任意的起始點達到終點，則系統能控(狀態能控)。如果系統的所有狀態變量的任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統是狀態能觀測的。

  1.2 時域分析法

• 時域分析法是根據系統的微分方程，以拉普拉斯變換作為數學工具，直接解出控制系統的時間響應。然后根據響應的表達式及其描述曲線來分析系統的控制性能，如穩定性、快速性、穩態精度等。

  為了衡量控制系統性能，設立了一定的指標，所以系統分析的基本內容就是分析系統在上述三個方面的性能是否達到了規定的性能指標。

• 時域法的特點：

  • ①直接在時間域中對系統進行分析校正，直觀，準確。
  • ②可以提供系統時間響應的全部信息。
  • ③基于求解系統輸出的解析解，比較煩瑣。
    
    

• 時域分析方法的基本假設

  • 系統的時間響應，不僅取決于系統本身的結構和參數，而且還與系統的初始狀態以及加在系統上的外部作用信號有關。為了比較系統性能的優劣，對于外部作用信號和初始狀態作典型化處理。
    
    

• 時域法中部分動態指標的計算公式：

$$?\begin{array}{rl}{t}_r& =\frac{\pi ?\beta }{{\omega }_d}\\ t_p& =\frac{\pi }{\sqrt{1?{\zeta }^2}{\omega }_n}\\ \sigma \%& =\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}\end{array}$$

• 時域法中系統穩定性的分析

  • 系統穩定的充要條件：
    • 系統所有閉環特征根均具有負的實部，或所有閉環特征根均位于左半s平面。
      
      
  • 勞斯（Routh）判據
    • 勞斯表第一列元素均大于零時系統穩定，否則系統不穩定且第一列元素符號改變的次數就是特征方程中正實部根的個數。
      
      

• 時域法中系統穩態誤差的計算：靜態誤差系數法

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }sR(s)\frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\underset{s\to 0}{\lim }sR(s)\frac{1}{1+\frac{K}{s^v}{G}_0(s)}$$

$$r(t)=A?1(t)e_{ssp}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s?\frac{A}{s}?\frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{1+\underset{s\to 0}{\lim }{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{1+K_p}$$

$$r(t)=A?t{e}_{ssv}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s?\frac{A}{s^2}?\frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{\underset{s\to 0}{\lim }s{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{K_v}$$

$$r(t)=\frac{A}{2}?t^2{e}_{ssa}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s?\frac{A}{s^3}?\frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{\underset{s\to 0}{\lim }{s}^2{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{K_a}$$

其中，時域分析$K_p$是靜態位置誤差系數；$K_v$是靜態速度誤差系數；$K_a$是靜態加速度誤差系數。

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本節完

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人一旦受到責任感的驅使，就能創造出奇跡來。

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