abstract

• 在積分學中,積分范圍先是從數軸上(直線)的一個區間的情形,推廣到平面或看空間內的一個閉區域的情形
• 不僅如此,積分概念可以推廣到積分范圍為一段曲線弧或一片曲面的情形,分別稱為曲線積分和曲面積分

對弧長的曲線積分

曲線形構件的質量

• 對弧長的曲線積分源自某些問題的研究,其中最經典的一個問題模型是曲線形構建的質量問題
  • 在討論定積分和二重積分時,分別對應曲邊梯形面積問題和曲頂柱體的體積問題
  • 而理解曲線積分時,用類似理解定積分時的幾何的角度就不容易,也不太合適,而從物理意義角度就比較合適
• 通過對這個問題問題模型的抽象,定義出弧長的曲線積分(第一類曲線積分)

第一類曲線積分

• 定義:設$L$為$xOy$面內的一條光滑曲線弧,函數$f(x,y)$在$L$上有界,在$L$上任意插入一系列點$M_1,?,M_{n?1}$,把$L$分成$n$個小段
• 設第$i$小段的長度為$\Delta s_i$,又$({\xi }_i,{\eta }_i)$為第$i$個小段上任意取定的,作乘積$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(0),$(i=1,2,?,n)$,并作和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(1)
• 若當各個小弧段的長度的最大值$\lambda \to 0$時,式(1)的極限總存在,切曲線弧$L$的分法以及點$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法無關,則稱此極限為函數$f(x,y)$在曲線弧$L$上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分,記為${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$,即${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(3)
• 其中$f(x,y)$稱為被積函數,$L$稱為積分弧段(積分弧段類似于定積分的積分區間或重積分的積分區域)
  • 而弧段元素$\Delta s_i$或$\mathrm{d}s$類似于定積分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$中的區間元素$\mathrm{d}x$
• Note:$f(x,y)$和$L$的方程是相對獨立的,最簡單的情形是
  • $f(x,y)$為常數
  • $L$為直線方程

曲線積分存在性

• 當$f(x,y)$在光滑曲線弧$L$上連續時,對弧長的曲線積分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$總是存在的

  • 在討論曲線積分時,我們總假定$f(x,y)$在$L$上是連續的

• 函數在曲線上連續表示?(TODO)

利用曲線積分的定義描述曲線形構件質量問題

• 根據上述定義,曲線形構件的質量$m$當線密度$\mu (x,y)$在$L$上連續時,就有等于$\mu (x,y)$對弧長的曲線積分,即$m={\int }_L\mu (x,y)\mathrm{d}s$(4)

推廣

• 上述曲線積分的定義是平面曲線積分,可以類似地推廣到積分弧段為空間曲線$\Gamma$的情形,即函數$f(x,y,z)$在曲線弧$\Gamma$上對弧長的曲線積分${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\xi }_i)\Delta s_i$(5)
  • $f(x,y,z)$可以表示空間中坐標為$x,y,z$的點處的密度(點附近小區域密度的代表值)

曲線積分可加性

• 若$L$是分段光滑的(有限個點不光滑),則規定函數在$L$上的曲線積分等于函數在光滑的各段上的曲線積分之和(空間曲線$\Gamma$也類似)
• 例如設$L$可分成兩段光滑曲線弧$L_1$以及$L_2$,記為$L=L_1+L_2$),就規定${\int }_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s$+${\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$(6)

閉曲線積分

• 若$L$是閉曲線,則函數$f(x,y)$在閉曲線$L$上對弧長的曲線積分記為$\oint f(x,y)\mathrm{d}s$

曲線積分性質

• 由對弧長的曲線積分的定義可知,其具有如下性質(這些性質和定積分類似)
• 線性性
  • ${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s$=$\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$+$\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$(7)
• 可加性
  • 若積分弧段$L$可分為兩段光滑曲線弧$L_1,L_2$,則
  • ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s$+${\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$(8)
• 設$L$上$f(x,y)?g(x,y)$,則
  • ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s?{\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$(9)
  • $|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s|?{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$(10)
    • 因為$?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|$
    • $?{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s?{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s?{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$
    • 改寫成絕對值不等式即得證不等式

曲線積分的計算方法

• 定理:設$f(x,y)$在曲線弧$L$上有定義且連續**,$L$的參數方程**為$x=?(t)$;$y=\psi (t)$,$t\in [\alpha ,\beta ]$
  • 若$?(t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有一階連續導數,且${?}^{\prime 2}+{\psi }^{\prime 2}(t)\ne 0$,則曲線積分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$存在,且${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[f(?(t),\psi (t))]\sqrt{{?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$,$(\alpha <\beta )$(11)

證明(部分推導)

• 利用弧長公式,我們可以將第一類曲線積分化為定積分計算

  • 弧長公式我們在定積分的應用中討論過,$s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(12)
  • 令$r(t)=\sqrt{{?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}$(12-1)

• 假定當參數$t$由$\alpha$變至$\beta$時,曲線弧$L$上的點$M(x,y)$依點$A$運動至$B$,該過程描出曲線弧$L$

• 在$L$上取一列點:$A=M_0,M_1,?,M_n=B$

• 設它們對應于一列單調增加的參數值$\alpha =t_0<t_1<?<t_n=\beta$(這表明$(\alpha <\beta )$)

• 根據對弧長的曲線積分的定義:${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(即式(3))

  • 設點$({\xi }_i,{\eta }_i)$對應于參數值${\tau }_i$,即${\xi }_i=?({\tau }_i)$,${\eta }_i=?({\tau }_i)$(13),這里${\tau }_i\in [t_{i?1},t_i]$,
  • 記$t_{i?1}\to t_i$在$L$上對應的弧長為$\Delta s_i$,使用弧長公式(12),有$\Delta s_i$=${\int }_{t_{i?1}}^{t_i}\sqrt{{?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(14)
  • 由積分中值定理:$\Delta s_i$=$\sqrt{{?}^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })+{\psi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })}?\Delta t_i$(15);其中$\Delta t_i$=$t_i?t_{i?1}$,${\tau }_i^{\prime }\in [t_{i?1},t_i]$于是
  • Note:這里${\tau }_i,{\tau }_i^{\prime }$有聯系(都是$[t_{i?1},t_i]$區間上的點),但并不相同
  • 將式(13),(15)代入到式(3),于是${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f[?({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]\sqrt{{?}^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })+{\psi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })}\Delta t_i$(16)
  • 由于函數(12-1)在閉區間$[\alpha ,\beta ]$上連續,可以把上式中$r_i^{\prime }$替換為$r_i$,從而式(16)寫作式(11)
    • 這一步要用到(12-1)函數在$[\alpha ,\beta ]$上的一致連續性

• 式(11)等號右端是一個定積分式子,因為其被積函數在$[\alpha ,\beta ]$上連續,所以這個定積分是存在的,因此式(11)等號左端${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$也存在;并且可以有式(11)計算結果

小結

• 公式(11)表明,計算對弧長的曲線積分$f_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$時,只要將$x,y,\mathrm{d}s$分別替換為:$?(t),\psi (t),\sqrt{{?}^{\prime 2}t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$
• 然后做$[\alpha ,\beta ]$上的定積分即可$(\alpha <\beta )$

曲線弧顯函數形式方程下的曲線積分公式

• 若曲線弧$L$由方程$y=\psi (x)$(17),$(x\in [x_0,X])$給出,則可以把這種情況看作特殊的參數方程:(參數方程的簡單情形)
  • $x=t$,$y=\psi (t)$,$t\in [x_0,X]$(17-1)
• 將其代入公式(11),得${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{x_0}^{X}f(x,\psi (x))\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$,$(x_0<X)$(18)
• 類似地,若曲線弧$L$由方程$x=?(y)$(19),$(y\in [y_0,Y])$給出
  • $y=t$,$x=?(t)$(19-1),$(y\in [y_0,Y])$
• 則${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{y_0}^{Y}f(?(y),y)\sqrt{1+{?}^{\prime 2}(y)}\mathrm{d}y$,$y_0<Y$(20)

推廣

• 若空間曲線$\Gamma$由參數方程$x=?(t)$,$y=\psi (t)$,$z=\omega t$,$t\in [\alpha ,\beta ]$給出的情形,這時$f_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[f(?(t),\psi (t),\omega (t))]\sqrt{{?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$(\alpha <\beta )$

例

• 計算${\int }_L\sqrt{y}\mathrm{d}s$其中$L$時拋物線$y=x^2$上點$O(0,0)$與$B(1,1)$之間的一段弧
  • 曲線$L$表示為$x$為參數的參數方程:$y=x^2$,$x\in [0,1]$
  • ${\int }_L\sqrt{y}\mathrm{d}s$=${\int }_0^1\sqrt{x^2}\sqrt{1+(x^2{)}^{\prime 2}}\mathrm{d}x$=${\int }_0^{1}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x$
    • 第一換元法:$\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}{x}^2$=$\frac{1}{8}{\int }_0^1\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}(4x^2+1)$=$\frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4x^2{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1$=$\frac{1}{12}[(1+4{)}^{\frac{3}{2}}?1]$=$\frac{1}{12}(5\sqrt{5}?1)$

例

• 若$L$:$x=R\cos \theta$,$y=R\sin \theta$,$\theta \in [?\alpha ,\alpha ]$

• $I$=${\int }_L{y}^2\mathrm{d}s$=${\int }_{?\alpha }^{\alpha }{R}^2{\sin }^2\theta \sqrt{(?R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta$

  • =$R^3{\int }_{?a}^a{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta$=$\frac{R^3}{2}[\theta ?\frac{\sin 2\theta }{2}{]}_{?\alpha }^{\alpha }$=$\frac{R^3}{2}(2\alpha ?\sin 2\alpha )$=$R^3(\alpha ?\sin \alpha \cos \alpha )$

例

• 若$L$:$x=a\cos t$,$y=a\sin t$,$z=kt$,$t\in [0,2\pi ]$,求$I$=${\int }_{\Gamma }(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s$
  • $I$=${\int }_{\Gamma }(a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t+k^2{t}^2)\sqrt{(?a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2+k^2}\mathrm{d}t$
  • =${\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t$=$\sqrt{a^2+k^2}[a^{2}t+\frac{k^2}{3}{t}^3{]}_0^{2\pi }$
    • 提取與$t$無關的因式$\sqrt{a^2+k^2}$到積分號前
  • =$\sqrt{a^2+k^2}[2a^2\pi +\frac{8}{3}{k}^2{\pi }^2]$
  • =$\frac{2\pi }{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2)$