位結構

float 各部分的含義

• 符號位：
  • 為 0 表示正數，為 1 表示負數。
• 指數部分：
  • 指數部分是一個移碼。
  • 指數部分有 8 位，首先當成無符號整型，則值域是 [0, 255] .
  • 因為是移碼，所以 移碼值 = 無符號整型值 - 127 則移碼值的值域為 [-127, 128] .
  • 但是浮點的指數部分不是標準的移碼，沒有 -127 這個值。當指數部分全 0 時，標準移碼的值是 -127, 但是浮點中把它當成 -126, 表示非規格化數。
  • 在規格化數中，指數部分的無符號整型值減去 127 就是實際的指數值。
  • 在非規格化數中，指數位全為 0，指數值為 -126，不再是指數部分的無符號整型值減去 127.
  • 此外，當指數部分的所有位都為 1 時，不再是表示具體的小數值，而是表示 無窮、NaN 這種抽象的值。指數部分全 1 時，標準的移碼值是 128, 但是浮點中表示抽象值。所以浮點的指數部分在表示具體的小數時的指數值的值域為 [-126, 127].
• 尾數部分：
  • 尾數部分有 23 位，是一個無符號整型。

double 各部分的含義

• 符號位：
  • 為 0 表示正數，為 1 表示負數。
• 指數部分：
  • 指數部分是一個移碼。
  • 指數部分有 11 位，首先當成無符號整型，則值域是 [0, 2047] .
  • 因為是移碼，所以 移碼值 = 無符號整型值 - 1023 則移碼值的值域為 [-1023, 1024] .
  • 但是浮點的指數部分不是標準的移碼，沒有 -1023 這個值。當指數部分全 0 時，標準移碼的值是 -1023, 但是浮點中把它當成 -1022, 表示非規格化數。
  • 在規格化數中，指數部分的無符號整型值減去 1023 就是實際的指數值。
  • 在非規格化數中，指數位全為 0，指數值為 -1022，不再是指數部分的無符號整型值減去 1023.
  • 此外，當指數部分的所有位都為 1 時，不再是表示具體的小數值，而是表示 無窮、NaN 這種抽象的值。指數部分全 1 時，標準的移碼值是 1024, 但是浮點中表示抽象值。所以浮點的指數部分在表示具體的小數時的指數值的值域為 [-1022, 1023].
• 尾數部分：
  • 尾數部分有 52 位，是一個無符號整型。

值計算公式

float 的值計算公式

規格化數的值：
$$\text{value}=(?1{)}^{\text{sign}}\times 2^{\text{exponent}?127}\times \left(1+\frac{\text{mantissa}}{2^{23}}\right)$$

非規格化數的值：
$$\text{value}=(?1{)}^{\text{sign}}\times 2^{?126}\times \left(\frac{\text{mantissa}}{2^{23}}\right)$$

double 的值計算公式

規格化數的值：
$$\text{value}=(?1{)}^{\text{sign}}\times 2^{\text{exponent}?1023}\times \left(1+\frac{\text{mantissa}}{2^{52}}\right)$$

非規格化數的值：
$$\text{value}=(?1{)}^{\text{sign}}\times 2^{?1022}\times \left(\frac{\text{mantissa}}{2^{52}}\right)$$

浮點特殊值

NaN

• 指數部分所有位都為 1.
• 尾數部分不為 0.

正無窮、負無窮

• 指數部分所有位都為 1.
• 尾數部分所有位都為 0.

則根據符號位來確定是正無窮還是負無窮。符號位為 0 則是正無窮，符號位為 1 則是負無窮。

總結

只要指數部分所有位都為 1, 這個浮點數就不再是具體的小數值，而是 NaN, 無窮 這種抽象的概念。