VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）簡介與簡單示例

前言

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文章目錄

前言
- - 一、VIKOR 方法概述
  - 二、核心步驟與公式（結合算法）
  - - 1. 輸入：決策矩陣與準則權重
    - 2. 步驟 1：歸一化決策矩陣（消除量綱）
    - 3. 步驟 2：確定理想解與負理想解
    - 4. 步驟 3：計算 $S_j$ （群體效用）與 $R_j$ （個體遺憾）
    - 5. 步驟 4：計算綜合得分 $Q_j$
    - 6. 步驟 5：方案排序
  - 三、關鍵特點與優勢
  - 五、與其他 MCDM 方法的對比
  - 六、總結
簡單示例
- - 代碼說明：

一、VIKOR 方法概述

VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）是由 Opricovic 提出的多準則決策（MCDM）方法，核心邏輯是通過“接近理想解的妥協解”排序方案。它結合“群體效用最大化”和“個體遺憾最小化”，適合解決多準則下的方案優選問題（如工程設計、供應鏈評估）。
在這里插入圖片描述

二、核心步驟與公式（結合算法）

1. 輸入：決策矩陣與準則權重

決策矩陣： $A=(aij)n×m\mathbf{A} = (a_{ij})_{n \times m}$ （ $n$ 準則數， $m$ 方案數， $a_{ij}$ 是方案 $j$ 在準則 $i$ 下的值）。
準則權重： $w_i$ （ $∑wi=1\sum w_i = 1$ ，表示準則 $i$ 的重要性）。

2. 步驟 1：歸一化決策矩陣（消除量綱）

對原始矩陣按列歸一化，公式：
$xˉij=aij∑j=1maij2\bar{x}_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sqrt{\sum_{j=1}^m a_{ij}^2}}$

作用：將不同量綱的準則值統一到 $[0, 1]$ 區間。

3. 步驟 2：確定理想解與負理想解

對每個準則 $i$ ，找到最優值 $f_i^*$ （最大化準則取最大值，最小化準則取最小值）和最劣值 $f_i^-$ （反之）：
$fi?=max?jxˉij,fi?=min?jxˉijf_i^* = \max_j \bar{x}_{ij}, \quad f_i^- = \min_j \bar{x}_{ij}$

4. 步驟 3：計算 $S_j$ （群體效用）與 $R_j$ （個體遺憾）

群體效用 $S_j$ ：方案 $j$ 與理想解的“群體效用差”，公式：
$Sj=∑i=1nwi?fi??xˉijfi??fi?S_j = \sum_{i=1}^n w_i \cdot \frac{f_i^* - \bar{x}_{ij}}{f_i^* - f_i^-}$
- 意義： $S_j$ 越小，方案對“群體效用”的貢獻越大。
個體遺憾 $R_j$ ：方案 $j$ 與理想解的“最大個體遺憾”，公式：
$Rj=max?i[wi?fi??xˉijfi??fi?]R_j = \max_i \left[ w_i \cdot \frac{f_i^* - \bar{x}_{ij}}{f_i^* - f_i^-} \right]$
- 意義： $R_j$ 越小，方案的“最壞情況遺憾”越小。

5. 步驟 4：計算綜合得分 $Q_j$

融合 $S_j$ 和 $R_j$ ，公式：
$Qj=ν?Sj?S?S??S?+(1?ν)?Rj?R?R??R?Q_j = \nu \cdot \frac{S_j - S^*}{S^- - S^*} + (1-\nu) \cdot \frac{R_j - R^*}{R^- - R^*}$
其中：

$S^* = \min_j S_j$ （最優群體效用）， $S^- = \max_j S_j$ （最劣群體效用）；
$R^* = \min_j R_j$ （最優個體遺憾）， $R^- = \max_j R_j$ （最劣個體遺憾）；
$ν\nu$ ：妥協系數（通常取 $0.5$ ，平衡“群體效用”與“個體遺憾”）。

6. 步驟 5：方案排序

按 $Q_j$ 升序排序， $Q_j$ 越小，方案越優（越接近理想解的妥協解）。

三、關鍵特點與優勢

妥協解邏輯：
同時考慮“群體效用最大化”（ $S_j$ ）和“個體遺憾最小化”（ $R_j$ ），避免單一目標的極端化。
參數 $ν\nu$ 的調節：
- $ν=0.5\nu = 0.5$ ：平衡群體與個體；
- $ν>0.5\nu > 0.5$ ：側重“群體效用”（多數規則）；
- $ν<0.5\nu < 0.5$ ：側重“個體遺憾”（否決規則）。
適用場景：
適合“需平衡多方利益”的決策（如供應鏈中“成本、效率、風險”的權衡）。

五、與其他 MCDM 方法的對比

方法	核心差異點	適用場景
VIKOR	強調“妥協解”，平衡群體效用與個體遺憾，適合需兼顧多方利益的決策	供應鏈優化、公共政策決策
TOPSIS	通過“距離理想解的相對位置”排序，側重“接近度”，對異常值敏感	數據波動小的決策場景
COPRAS	區分最大化/最小化準則，通過相對顯著性強化最小化準則的影響	工程設計、成本敏感型決策

六、總結

VIKOR 是一種**兼顧“群體利益”與“個體遺憾”**的多準則決策方法，核心通過 $S_j$ （群體效用）、 $R_j$ （個體遺憾）和 $Q_j$ （綜合得分）排序方案。其公式設計體現了“妥協優化”思想，尤其適合需平衡多方訴求的復雜決策場景（如城市規劃、項目投資）。

簡單示例

下面是一個使用VIKOR優化方法的MATLAB實現。這個示例解決了一個經典的"供應商選擇"問題，通過VIKOR方法在多個準則下對備選方案進行排序和選擇。

%% VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）優化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定義問題數據
% 備選方案（供應商）
alternatives = {'供應商A', '供應商B', '供應商C', '供應商D', '供應商E'};
num_alternatives = length(alternatives);% 評價準則
criteria = {'價格', '質量', '交貨期', '服務水平', '環保性'};
num_criteria = length(criteria);% 準則權重（可通過AHP等方法確定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 決策矩陣（方案在各準則下的表現）
% 注："價格"為最小化準則，其余為最大化準則
decision_matrix = [80, 7, 9, 8, 7;    % 供應商A90, 8, 7, 9, 8;    % 供應商B70, 9, 6, 7, 9;    % 供應商C60, 6, 8, 6, 6;    % 供應商D85, 7, 10, 8, 8;   % 供應商E
];% 標記準則類型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [0, 1, 1, 1, 1];% VIKOR妥協系數（通常取0.5，平衡群體效用與個體遺憾）
v = 0.5;%% 2. VIKOR計算流程
% 步驟1：歸一化決策矩陣（向量歸一化）
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化準則normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / norm(decision_matrix(:,j));else  % 最小化準則normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);normalized_matrix(:,j) = normalized_matrix(:,j) / norm(normalized_matrix(:,j));end
end% 步驟2：確定理想解和負理想解
f_star = zeros(1, num_criteria);
f_minus = zeros(1, num_criteria);
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化準則f_star(j) = max(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = min(normalized_matrix(:,j));else  % 最小化準則f_star(j) = min(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = max(normalized_matrix(:,j));end
end% 步驟3：計算S和R值
S = zeros(num_alternatives, 1);
R = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriaS(i) = S(i) + weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));temp_R = weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));if temp_R > R(i)R(i) = temp_R;endend
end% 步驟4：計算Q值
S_star = min(S);
S_minus = max(S);
R_star = min(R);
R_minus = max(R);Q = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesQ(i) = v * (S(i) - S_star) / (S_minus - S_star) + (1-v) * (R(i) - R_star) / (R_minus - R_star);
end% 步驟5：排序
[Q_sorted, sort_idx] = sort(Q, 'ascend');
S_sorted = S(sort_idx);
R_sorted = R(sort_idx);%% 3. 可視化結果
% 3.1 決策矩陣熱圖
figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始決策矩陣');
xlabel('準則');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10);end
end% 3.2 準則權重餅圖
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('準則權重分布');% 3.3 S、R、Q值對比圖
subplot(2, 2, 3);
bar_width = 0.25;
x = 1:num_alternatives;
bar(x - bar_width, S, bar_width, 'b', 'DisplayName', 'S (群體效用)');
hold on;
bar(x, R, bar_width, 'r', 'DisplayName', 'R (個體遺憾)');
bar(x + bar_width, Q, bar_width, 'g', 'DisplayName', 'Q (綜合得分)');
hold off;
title('S、R、Q值對比');
xlabel('方案');
ylabel('值');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
legend;
grid on;% 3.4 VIKOR排序結果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, Q_sorted);
title('VIKOR排序結果');
xlabel('Q值 (越小越好)');
ylabel('方案 (按排名)');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
grid on;% 添加標簽顯示具體Q值
for i = 1:num_alternativestext(Q_sorted(i)+0.01, i, sprintf('%.4f', Q_sorted(i)), 'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle');
end%% 4. 輸出結果
fprintf('\n===== VIKOR優化結果匯總 =====\n');
fprintf('\n1. 準則權重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 各方案評估結果:\n');
fprintf('   方案\t\tS值\t\tR值\t\tQ值\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s\t%.4f\t\t%.4f\t\t%.4f\n', alternatives{i}, S(i), R(i), Q(i));
endfprintf('\n3. VIKOR推薦排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (Q值: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, Q_sorted(i));
end% 檢查是否滿足VIKOR接受條件
if (Q_sorted(2) - Q_sorted(1) >= 1/(num_alternatives-1)) && ...(Q_sorted(1) == S_sorted(1) || Q_sorted(1) == R_sorted(1))fprintf('\n4. 接受條件檢查: 方案 %s 為唯一最優妥協解\n', alternatives{sort_idx(1)});
elsefprintf('\n4. 接受條件檢查: 存在多個妥協解或需進一步分析\n');
end

代碼說明：

問題定義：
- 5個備選方案（供應商A-E）
- 5個評價準則：價格、質量、交貨期、服務水平、環保性
- 準則權重：通過專家判斷或AHP方法預先確定
- 準則類型："價格"為最小化準則，其余為最大化準則
- 妥協系數v：默認0.5，平衡群體效用與個體遺憾
VIKOR計算流程：
- 歸一化處理：針對不同類型準則采用不同歸一化方法
- 確定理想解和負理想解：對每個準則分別計算
- 計算S值（群體效用）和R值（個體遺憾）
- 計算綜合得分Q值：融合S和R
- 排序：按Q值升序排列
可視化功能：
- 決策矩陣熱圖：直觀展示原始數據
- 準則權重餅圖：顯示各準則重要性分布
- S、R、Q值對比圖：橫向比較各方案在不同指標下的表現
- VIKOR排序結果：按Q值從低到高展示
結果輸出：
- 詳細列出各方案的S、R、Q值
- 給出推薦排序結果
- 檢查是否滿足VIKOR接受條件（條件1和條件2）