投資策略規劃最優決策分析

一、投資策略規劃問題詳細

二、存在最優投資策略：每年都將所有錢投入到單一投資產品中

（一）狀態轉移方程

（二）初始條件與最優策略

（三）證明最優策略總是將所有錢投入到單一投資產品中

三、證明：規劃最優投資策略問題具有最優子結構性質

（一）問題描述和基本假設

（二）直觀證明

四、設計最優投資策略規劃算法并分析時間復雜度

（一）問題回顧

（二）算法設計步驟

?定義狀態和狀態轉移

初始化與迭代計算

終止條件判定

（三）實際驗證

（四）時間復雜度分析

五、新限制條款證明：最大化10年回報問題不再具有最優子結構性質

（一）最優子結構性質

（二）問題描述和限制條件

（三）反例證明不再具有最優子結構性質

六、總結

干貨分享，感謝您的閱讀！

投資決策是金融領域中極具挑戰性和復雜性的問題之一。如何在多變的市場環境中制定最優投資策略，以實現長期的最大化回報，是每個投資者關心的核心問題。

一、投資策略規劃問題詳細

你所掌握的算法知識幫助你從Acme計算機公司獲得了一份令人興奮的工作，簽約獎金1萬美元。你決定利用這筆錢進行投資，目標是10年后獲得最大回報。你決定請Amalgamated投資公司管理你的投資，該公司的投資回報規則如下：

該公司提供 n 種不同的投資產品，從 1~n 編號。在第 j 年，第 i 種投資產品的回報率為 $r_{ij}$ 。換句話說，如果你在第 j 年在第 i 種投資產品投入 d 美元，那么在第 j 年年底，你會得到 $d\cdot r_{ij}$ 美元。回報率是有保證的，即未來10年每種投資產品的回報率均已知。你每年只能做出一次投資決定。在每年年底，你既可以將錢繼續投入到上一年選擇的投資產品中，也可以轉移到其他投資產品中（轉移到已有的投資產品，或者新的投資產品）。如果跨年時你不做投資轉移，需要支付 $f_{1}$ 美元的費用。否則，需要支付 $f_{2}$ 美元的費用，其中 $f_{2}> f_{1}$ 。? ? ??

　a. 如上所述，本問題允許你每年將錢投入到多種投資產品中。證明：存在最優投資策略，每年都將所有錢投入到單一投資產品中（記住最優投資策略只需最大化10年的回報，無需關心任何其他目標，如最小化風險）。
　b. 證明：規劃最優投資策略問題具有最優子結構性質。
　c. 設計最優投資策略規劃算法，分析算法時間復雜度。
　d. 假定Amalgamated投資公司在上述規則上又加入了新的限制條款，在任何時刻你都不能在任何單一投資產品中投入15000美元以上。證明：最大化10年回報問題不再具有最優子結構性質。

二、存在最優投資策略：每年都將所有錢投入到單一投資產品中

這個問題可以通過動態規劃來解決。我們首先定義一個狀態表示，以便在每個決策點上找到最優的投資策略。

假設我們定義 dp[i][j] 表示在第 i 年選擇第 j 種投資產品所能獲得的最大回報。我們需要遞歸地計算這些狀態，并考慮到不同投資產品之間的轉移費用。

（一）狀態轉移方程

為了計算 dp[i][j] ，我們需要考慮兩種情況：

繼續投資于同一個產品。
轉移投資到不同的產品。

因此，我們有：

其中：

$r_{k,i-1}$ ? 是第 i?1 年第 k 種投資產品的回報率。
$r_{j,i}$ ?是第 i 年第 j 種投資產品的回報率。
$f_{1}$ ? 是不做投資轉移的費用。
$f_{2}$ ? 是進行投資轉移的費用。

（二）初始條件與最優策略

對于初始年份，我們假設初始投入金額為 d：?

通過上述狀態轉移方程，我們可以構建一個 dp 數組，并逐步填充每一年的最優投資策略。最終的答案是：

（三）證明最優策略總是將所有錢投入到單一投資產品中

為了證明存在最優策略每年將所有錢投入到單一投資產品中，我們注意到：

在每個時間點上，我們通過動態規劃的狀態轉移方程求得了每一年中每個投資產品的最優決策。
如果存在一種最優策略每年將錢分散到多個投資產品，那么這些策略的收益可以通過組合這些投資產品的單一投資策略來模擬。因此，總存在一種單一投資策略與分散投資策略具有相同或更高的回報。
因此，通過動態規劃找到的最優策略，本質上每年都會選擇一個最優的單一投資產品來最大化回報。

綜上所述，基于動態規劃求解，我們總能找到每年投入單一投資產品的最優策略，從而最大化10年的總回報。

三、證明：規劃最優投資策略問題具有最優子結構性質

（一）問題描述和基本假設

我們有 n 種投資產品，每種產品在每年的回報率為 $r_{ij}$ 。我們每年只能選擇一種產品進行投資，并且在轉換投資產品時需要支付不同的費用 $f_{1}$ ? ?（不轉換）和 $f_{2}$ ? ?（轉換）。

最優子結構性質意味著，一個問題的最優解包含其子問題的最優解。

（二）直觀證明

我們從最優解的角度出發，考慮最后一年的投資決策，然后向前推導每一年的投資決策。

假設在第 10 年，我們的投資產品選擇是最優的。如果我們選擇在第 10 年投資產品 j，這意味著從第 9 年到第 10 年的投資決策也是最優的。

假設在第 9 年，我們選擇了投資產品 i，并在第 10 年轉移到投資產品 j。那么，最優策略必須保證第 9 年的投資產品 i 是在第 8 年的最優決策基礎上選擇的。

我們考慮第 8 年的投資決策，如果第 9 年投資產品 i 是最優的，那么第 8 年的投資決策也是在所有可能的投資產品中選擇的最優方案。

我們可以遞歸地推導到第 1 年，保證每年的投資決策都是基于前一年最優選擇的結果。

假設有 3 種投資產品（A、B、C），每年的回報率如下：

年份	A	B	C
1	1.1	1.2	1.3
2	1.3	1.1	1.2
3	1.2	1.3	1.1

費用 $f_{1}= 0$ （不轉換）， $f_{2}= 100$ （轉換）。

假設我們在第 3 年選擇了投資產品 B，并且這是最優選擇。我們需要保證從第 2 年到第 3 年的決策也是最優的。

假設在第 2 年，我們選擇了投資產品 A，然后在第 3 年轉移到投資產品 B。此時我們有：

其中 X?是第 1 年的投資產品，f 是費用。

我們可以繼續推導第 1 年的決策，保證第 1 年的選擇也是基于最優結果的。

通過上述遞歸推導和具體示例，我們可以直觀地看到：

每年的最優投資決策是基于前一年的最優決策。
如果最后一年的投資決策是最優的，那么前一年的投資決策也是最優的，遞歸到第一年。

上述過程證明了，最優投資策略問題具有最優子結構性質：即一個問題的最優解包含其子問題的最優解。這一性質使得我們可以使用動態規劃方法來求解該問題，保證整體最優解的正確性和有效性。

四、設計最優投資策略規劃算法并分析時間復雜度

（一）問題回顧

我們有 n?種投資產品，每種產品在每年的回報率是已知的。初始投資金額為 10,000 美元。目標是在 10 年后獲得最大回報。每年可以選擇將資金投入到當前的產品或轉移到其他產品。轉移資金時有費用 $f_{1}$ ? ?（不轉換）和 $f_{2}$ ? ?（轉換）。

（二）算法設計步驟

?定義狀態和狀態轉移

動態規劃的核心思想是將復雜問題分解為更小的子問題，并通過解決這些子問題構建最終解。

狀態定義：用 dp[i][j] 表示在第 i 年選擇第 j 種投資產品所能獲得的最大回報。

狀態轉移方程：每年我們有兩種選擇：繼續投資于同一個產品，或者轉移到另一個產品。

如果繼續投資于同一個產品：

如果轉移到另一個產品：

初始化與迭代計算

初始投資金額為 initialInvestment。第一年將資金投入到所有可能的產品中，并計算初始回報。則：

迭代計算

對于每一年 i（從第 1 年到第 10 年），我們計算每個產品 j 的最大回報。
對于每個產品 j，我們需要比較繼續投資和轉移投資的情況，并取最大值。

終止條件判定

在第 10 年結束時，取所有產品中的最大回報值作為最終結果。

（三）實際驗證

我們假設有 3 種投資產品（A、B、C），回報率矩陣如下：

費用 f1 = 50，f2 = 100。初始投資金額 initialInvestment = 10000。我們按照之前的思路來實現代碼如下：

package org.zyf.javabasic.letcode.dynamicprogramming.project;/*** @program: zyfboot-javabasic* @description: 動態規劃算法來解決最優投資策略問題* @author: zhangyanfeng* @create: 2021-09-25 23:00**/
public class InvestmentStrategy {// 計算最大回報的方法public static double maxReturn(int years, int products, double initialInvestment, double[][] r, double f1, double f2) {double[][] dp = new double[years + 1][products];// 初始化：第一年各產品的投資回報for (int j = 0; j < products; j++) {dp[0][j] = initialInvestment * r[j][0];}// 狀態轉移for (int i = 1; i <= years; i++) {for (int j = 0; j < products; j++) {// 假設繼續投資當前產品dp[i][j] = dp[i-1][j] * r[j][i] - f1;// 考慮轉移到其他產品for (int k = 0; k < products; k++) {if (k != j) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][k] * r[j][i] - f2);}}}}// 獲取最終最大值double maxReturn = 0;for (int j = 0; j < products; j++) {maxReturn = Math.max(maxReturn, dp[years][j]);}return maxReturn;}public static void main(String[] args) {int years = 10;int products = 3;double initialInvestment = 10000;double[][] r = {{1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.3, 1.2, 1.1, 1.3, 1.2, 1.1, 1.3},{1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1},{1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3}};double f1 = 50;double f2 = 100;System.out.println("最大回報: " + maxReturn(years, products, initialInvestment, r, f1, f2));}
}

運行結果為：

最大回報: 149207.90551039999

（四）時間復雜度分析

初始化：初始化 dp 數組的時間復雜度是 O(n)，其中 n 是產品數量。

狀態轉移：每年對每個產品計算最優值需要比較所有可能的產品組合。對于第 i 年的第 j 種產品，最多需要遍歷前一年所有 k 種產品。因此，狀態轉移的時間復雜度是 $O(m\cdot n^{2})$ ，其中 m 是年數，n 是產品數量。

最終解：找到最后一年的最大值需要 O(n)。

所以，總的算法的時間復雜度為 $O(m\cdot n^{2})$ 。

通過上述步驟，我們設計并實現了一個動態規劃算法來解決最優投資策略問題。該算法基于狀態轉移和最優子結構的原理，通過遞歸計算每年的最優投資選擇，最終得到最大回報。時間復雜度為 $O(m\cdot n^{2})$ ，適用于一般規模的投資問題。

五、新限制條款證明：最大化10年回報問題不再具有最優子結構性質

假定Amalgamated投資公司在上述規則上又加入了新的限制條款，在任何時刻你都不能在任何單一投資產品中投入15000美元以上。證明：最大化10年回報問題不再具有最優子結構性質。

為了證明最大化10年回報問題在加入每個投資產品的投資金額不能超過15000美元的限制后，不再具有最優子結構性質，我們需要明確什么是最優子結構性質。

（一）最優子結構性質

最優子結構性質（Optimal Substructure Property）是指一個問題的最優解可以由其子問題的最優解構建而成。具體到動態規劃問題上，就是說如果我們知道如何解決子問題，那么我們就可以利用這些子問題的解來構建出原問題的解。

（二）問題描述和限制條件

在原問題中，我們每年可以選擇將資金繼續投入到當前的產品或轉移到其他產品，且每次轉移都有一定的費用。在這種情況下，問題具有最優子結構性質，因為每一年的決策只依賴于前一年各個產品的最優決策。

然而，當加入了每個投資產品的投資金額不能超過15000美元的限制后，情況變得復雜：我們在每年的決策中不僅要考慮前一年的回報，還要考慮當前投資產品的投資金額是否已經達到了15000美元的上限。

（三）反例證明不再具有最優子結構性質

假設我們有3種投資產品，分別為A、B、C，初始投資金額為10000美元，每年的回報率如下：

轉移費用分別為f1 = 50，f2 = 100。假設我們在任何單一投資產品中的投資金額不能超過15000美元。

第一年：

投資產品A：10000 * 1.5 = 15000
投資產品B：10000 * 1.2 = 12000
投資產品C：10000 * 1.1 = 11000

第二年：

如果第一年投資在產品A中，已經達到15000美元上限，第二年無法繼續投資在A中，只能轉移到B或C。
如果第一年投資在產品B中，第二年繼續投資在B中：12000 * 1.3 = 15600（超過15000美元），所以只能轉移到其他產品，但投資在A中會因15000美元限制受到影響。

通過上面的例子我們可以看到，在存在投資金額上限的情況下，每年的最優決策不僅依賴于前一年的回報率，還依賴于當前的投資金額是否達到了上限。因此，我們不能簡單地通過前一年各個產品的最優決策來構建當前年的最優決策。

由于每年的決策需要考慮當前投資產品的投資金額是否已經達到15000美元的上限，這種限制引入了額外的復雜性，使得當前年的最優決策不僅依賴于前一年的回報率，還依賴于投資金額是否達到上限。因此，問題不再具有最優子結構性質。這意味著，我們無法簡單地通過前一年各個產品的最優決策來構建當前年的最優決策，從而使得使用動態規劃的方法變得更加復雜甚至不可行。